用连乘积求哥猜数不太合适

yangchuanju

用连乘积求哥猜数不太合适吧？
求素数个数可用埃氏筛法，这是大家公认的。
许多人将埃氏筛法推广，两个筛子一起筛，并试图用它求孪生素数，求哥猜数；无可非议。
用连乘积(1-1/p)求素数个数已为数论界认可，但用连乘积(1-2/p)求哥猜数太离谱。

取连续的16个偶数100,102，……130；做16组和等于100,102，……130的数对表：
1+99,2+98，……99+1；1+101,2+100，……101+1；……；1+129,2+128，……129+1
首先用2进行第一筛，由于表中两数和都是偶数，本筛不出现筛不净或筛过头的现象；
因此为减小数对表的规模也可只取奇数对部分，变成：
1+99,3+97，……99+1；1+101,3+99，……101+1；……；1+129,3+127，……129+1
第一筛筛后剩余奇数对个数分别为50,51,52，……60；增量都是1。
第二筛用素数3，筛后剩余奇数对分别为
16        34        18        17        36        19        18        38
20        19        40        21        20        42        22        21
呈现2小1大现象；
而在第一筛剩余奇数对的基数上乘以1/3，得数分别是
16.66666667        17        17.33333333        17.66666667        18        18.33333333        18.66666667        19
19.33333333        19.66666667        20        20.33333333        20.66666667        21        21.33333333        21.66666667
计算值小于剩余数的有6个，略大于剩余数的有5个，仅为剩余数1/2的有5个。      

yangchuanju

（接上楼）
第三筛用素数5，筛后剩余奇数对分别为                                                      
12        20        12        9        22        16        10        24
12        11        32        13        12        24        14        16
亦呈现2小1大现象；                                                      
而在第二筛的计算数上再乘以3/5，得数分别是                                                      
10        10.2        10.4        10.6        10.8        11        11.2        11.4
11.6        11.8        12        12.2        12.4        12.6        12.8        13
剩余数减连乘积计算值分别为                                                      
2        9.8        1.6        -1.6        11.2        5        -1.2        12.6
0.4        -0.8        20        0.8        -0.4        11.4        1.2        3

继续用素数7,11筛下去，所得结果大体不变。
差值有正有负，表示即有筛不净的，也有筛过头的。
许多连乘积小于筛余数（正差），用它说明“偶数都可表示成两素数之和”尚可，但许多连乘积大大小于筛余数用它表示哥猜数值则偏差太大。
也有一些连乘积大于筛余数（负差），用它则不再能说明“偶数都可表示成两素数之和”了！
附注：筛余数未曾减去含1的第一组和最后一组可能构成的奇数对，也未曾加上多删除的3和5可能构成的奇数对。

yangchuanju

筛分和连乘计算表                                                      
偶数n        用2筛        用3筛        用5筛        n/2        n/6        n/6*3/5        用5筛余数减(n/6*3/5)
100        50        16        12        50        16.667         10        2
102        51        34        20        51        17.000         10.2        9.8
104        52        18        12        52        17.333         10.4        1.6      
106        53        17        9        53        17.667         10.6        -1.6      
108        54        36        22        54        18.000         10.8        11.2      
110        55        19        16        55        18.333         11        5      
112        56        18        10        56        18.667         11.2        -1.2      
114        57        38        24        57        19.000         11.4        12.6      
116        58        20        12        58        19.333         11.6        0.4      
118        59        19        11        59        19.667         11.8        -0.8      
120        60        40        32        60        20.000         12        20      
122        61        21        13        61        20.333         12.2        0.8      
124        62        20        12        62        20.667         12.4        -0.4      
126        63        42        24        63        21.000         12.6        11.4      
128        64        22        14        64        21.333         12.8        1.2      
130        65        21        16        65        21.667         13        3      

偶数n        用7筛        用11筛        双计        单计        应去掉        应添加               
100        10        8        12        6        ——        3+97        11+89      
102        16        16        16        8        1+101        5+97        97+5      
104        8        8        10        5        1+103        3+101        7+97      
106        7        7        11        6        ——        3+103        5+101      
108        14        12        16        8        1+107        5+103        7+101      
110        10        10        12        6        1+109        3+107        7+101      
112        10        8        14        7        ——        3+109        5+107        11+101
114        18        16        20        10        1+113        5+109        7+107        11+103
116        8        8        12        6        ——        3+113        7+109      
118        9        7        11        6        ——        5+113        11+107      
120        22        20        24        12        ——        7+113        11+109      
122        9        7        7        4        ——        ——               
124        10        8        10        5        ——        11+113               
126        20        20        20        10        ——        ——               
128        8        8        6        3        1+127        ——               
130        12        12        14        7        ——        3+127               

yangchuanju

用连乘积求哥猜数不太合适吧？（二）
连乘积式：n*（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）
上面所求为双计哥猜数，当然也可直接求单计哥猜数，只是在编制计算表时只取一半奇数即可，
1+99,2+98，……49+51；1+101,2+100，……51+51；……；1+129,2+128，……65+65
注意如果偶数n是4的倍数，将n/2个奇数一分为二即可；如果偶数n不是4的倍数，需在尾行补上一个奇数n/2。

用双筛法求哥猜数也不是容易的事，因为用双筛法筛除后的筛余数还必须减去含1的第一组和最后一组可能构成的奇数对，然后再加上多删除的3,5,7,11等素数可能构成的奇数对；它们都不是容易判断的。

而连乘积法固然一算了之，但偏差太大，特别是偶数较大时，连乘积数值可能大大的大于实际值；另若还有进行加减调整则更不容易；因此用连乘积求哥猜数不论理论上还是实际上，都是不太合适的。

偶数n        连乘积        11筛余        筛余-连乘
100        5.844155844        8        2.155844156
102        5.961038961        16        10.03896104
104        6.077922078        8        1.922077922
106        6.194805195        7        0.805194805
108        6.311688312        12        5.688311688
110        6.428571429        10        3.571428571
112        6.545454545        8        1.454545455
114        6.662337662        16        9.337662338
116        6.779220779        8        1.220779221
118        6.896103896        7        0.103896104
120        7.012987013        20        12.98701299
122        7.12987013        7        -0.12987013
124        7.246753247        8        0.753246753
126        7.363636364        20        12.63636364
128        7.480519481        8        0.519480519
130        7.597402597        12        4.402597403
（本表数据未进行加减调整）

yangchuanju

用连乘积求哥猜数不太合适吧？（三）
（二）中连乘积式为：n*（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）
它未分偶数的类型，实际上
当n是3的倍数时，连乘积中的(1-2/3)=1/3应改为(1-1/3)=2/3，或在连乘积后再乘以2/1进行校正；
同理，当n是5的倍数时，连乘积中的(1-2/5)=3/5应改为(1-1/5)=4/5，或在连乘积后再乘以4/3进行校正；
当n是7的倍数时，连乘积中的(1-2/7)=5/7应改为(1-1/7)=6/7，或在连乘积后再乘以6/5进行校正；
当n是11的倍数时，连乘积中的(1-2/11)=9/11应改为(1-1/11)=10/11，或在连乘积后再乘以10/9进行校正；
…………
从上述分析可得，在用连乘积∏(1-2/p)计算后，尚需再用另一个连乘积∏(p-1/(p-2)进行校正（补回），
其中二个连乘积中的p都只取小于n平方根的素因子。

偶数n        连乘积1        连乘积2        计算值        11筛余        筛余-连乘
100        5.844         1.333         7.790         8        0.210
102        5.961         2.000         11.922         16        4.078
104        6.078         1.000         6.078         8        1.922
106        6.195         1.000         6.195         7        0.805
108        6.312         2.000         12.623         12        -0.623
110        6.429         1.481         9.521         10        0.479
112        6.545         1.200         7.855         8        0.145
114        6.662         2.000         13.325         16        2.675
116        6.779         1.000         6.779         8        1.221
118        6.896         1.000         6.896         7        0.104
120        7.013         2.667         18.704         20        1.296
122        7.130         1.000         7.130         7        -0.130
124        7.247         1.000         7.247         8        0.753
126        7.364         2.400         17.673         20        2.327
128        7.481         1.000         7.481         8        0.519
130        7.597         1.333         10.127         12        1.873
（本表数据仍未进行加减调整）

yangchuanju

用连乘积求哥猜数不太合适吧？（四）                                                      
当将偶数扩大到10000--10030时，累次筛余数是：                                                      
250        382        190        181        378        374        188        406
202        193        510        181        238        378        204        274
连乘积∏(1-2/p)=0.019149，其中p=3--97；                                                      
第二个连乘积∏(p-2)/(p-1)因偶数不同而异，分别为：                                                      
1.333        2        1.043        1        2        1.939        1        2
1        1        2.667        1        1.2        2        1.048        1.447
相乘后得                                                      
255.249779        383.0470051        199.798957        191.6000966        383.2767874        371.6611033        191.7149878        383.5065696
191.7915819        191.8298789        511.7124252        191.906473        230.333724        383.9661341        201.2383896        277.9103297
筛余数减连乘积的差值分别为：                                                      
-5.249778966        -1.047005133        -9.798956991        -10.60009665        -5.27678738        2.338896672        -3.714987772        22.49343037
10.20841815        1.170121104        -1.712425223        -10.90647298        7.666275977        -5.96613412        2.761610422        -3.910329673
最大将近11。                                                      

偶数10000--10030的实际哥猜数（双计）是：                                                      
254        394        198        183        384        382        198        418
208        197        526        185        242        388        212        278
再对筛余数进行加减调整后完全相等，其中第5、第6两偶数各减2，即减去1+10006,10006+1和1+10008,10008+1；                                                      
调加各数分别为（具体加数略）：                                                      
4        12        8        2        8        10        10        12
6        4        16        4        4        10        8        4

若将双计哥猜数减去连乘积计算值，差值分别为：                                                      
-1.249778966        10.95299487        -1.798956991        -8.600096649        0.72321262        10.33889667        6.285012228        34.49343037
16.20841815        5.170121104        14.28757478        -6.906472978        11.66627598        4.03386588        10.76161042        0.089670327
其中偶数10014高达34.5。                                                      
故用连乘积求哥猜数不太合适。

ysr

yangchuanju 发表于 2021-7-1 22:37
用连乘积求哥猜数不太合适吧？（三）
（二）中连乘积式为：n*（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/ ...

若n表示偶数的话，前面应该乘以n/2，后面减去m-1（偶数数值小的时候可以省掉，比如300内或者500内，需要实际验证），其中m-1为偶数n的方根内的奇素数。这样算出来的是下限值，比如122的哥德巴赫猜想解的下限可以这样计算：
（122/2）*（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）-4（因为11内有4个奇素数）=3.5649-4=3-4（省掉-4其实为3）.

实际为：

122的方根为11.0453610171873,方根内有0个总数有4个:122=13+ 109
19+ 103
43+ 79
61+ 61

为啥要乘以n/2呢？因为偶数n的全部拆分数对为n/2（包括合数对和半对子），比如122的全部拆分数对有61对：

61,60,59，……，1
61,62,63，……，121

ysr

这是理论下限值，不处理含有某素因子p而使公式对应于p的乘数项改为（1-1/p）从而结果变大的情况，下限值不波动，是不减函数。

公式中的（n/2）*（1-1/2）可以合并为n/4

ysr

"老师谈的是哥猜数下限，我说的是“用连乘积求哥猜数不太合适”两者没有矛盾！"

用连乘积公式能算出下限，以及上限，不能得到准确值，实际值是波动的，这么说的话，的确不合适。

ysr

ysr 发表于 2021-7-1 23:19
这是理论下限值，不处理含有某素因子p而使公式对应于p的乘数项改为（1-1/p）从而结果变大的情况，下限值不 ...

用模拟函数代替连乘积公式，就可以得到下限值公式且不必筛选偶数方根内的全部素数，这样的公式是可能的存在的。