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二元函数积分,如果调换积分顺序是否有可能得不到数值解?

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发表于 2021-6-16 01:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

请看上图解题过程,如果调整积分顺序(函数在区域边界是连续的)。先对dx积分。得到1/3   + y^2,然后再对dy积分。最后只能得到(1-x)/3  +  (1-x)^3 /3

请问这种由于积分顺序不同造成无法得出数值解的情况正常么?

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发表于 2021-6-16 09:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 zytsang 于 2021-6-16 09:49 编辑

可以调整 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\) 积分顺序,但是记得积分上下限要一起换
\[\int_0^1\left[\int_0^{1-x}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x
=
\int_0^1\left[\int_0^{1-y}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y
\]
这个二元积分的积分区域是 \(R=\{(x,y): 0\leq x\leq1, 0\leq y\leq1, x+y\leq 1\}\)。
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