用逆向思维构造可4—着色的任意极大平面图来证明四色猜测（短小篇幅）

雷明85639720

用逆向思维构造可4—着色的任意极大平面图来证明四色猜测
雷  明
（二○二一年六月一日）

目前虽然已有很多人都宣布自已证明了四色猜测是正确的，但还没有一个得到数学界的公认。既然是不能证明任意的极大平面图都是可4—着色的，那么我们可以反过来想，能不能想办法只用四种颜色构造出任意的极大平面图来呢？若能构造，那不也等于就证明了任何极大平面图都是可4—着色的吗？
首先给出一个顶点数最少的极大平面图K3图（如图1），只用三种颜色着色。在其一个面内增加一个顶点时，是一个K4图，仍是一个极大平面图。新增加的这个顶点与三种颜色的顶点全都相邻了，只能用第四种颜色（如图2）。

从现在起我们再继续在这个极大平面图K4内增加顶点，可以增加在某一个面内，也可以增加在某一条边上。
增加在某一个面内的顶点，也只与着有三种颜色的顶点相邻，可以直接着上第四种颜色（如图3）；而增加在某一条边上的顶点V，已经与两个顶点相邻了，但这时的图却不是极大平面图（如图4）；把这个顶点再与其两侧未相邻的两个顶点用边连结起来后，图就成了一个极大图（如图5）。这时所增加的这个顶点就与四个已着色的顶点相邻了，其本身又是处在一个4—轮的中心位置上。这就是极大平面图的一个不可避免的4—轮构形。但4—轮的围栏顶点已占用完了四种颜色，出现了颜色冲突。把图5变形后，其一条对角链A—D与V却构形了一个环（如图6 和图7中的加粗边），把由另外两个对角的颜色构成的相反链B—C隔在了环的内、外两侧，从环内、外的任一个围栏顶点开始交换B—C链，都可空出颜色B或C给待着色顶点V着上（如图8）。这说明在极大图的某一条边上增加顶点V时，一定是可以着上图中已用过的四种颜色之一的。实际上4—轮构形的可约性问题坎泊早就已解决了。

以后照样不断的在新形成的极大平面图的某一个面内，或者在新形成的极大平面图的某一条边上增加新的顶点，所得到的图都一定还是极大平面图，都一定能在图中已用过的四种颜色之内进行着色。无穷次的这样做下去，就可得到任意的极大平面图，所用的颜色数总是不会超过四种的。
这不也就证明了四色猜测是正确的吗？
虽然如此，但在需要构造一个特定的图时，就要看要求的特定图中各顶点的度是多少，顶点与顶点间的相邻关系如何，真正使构造出来的图要与要求的特定图一模一样。比如正二十面体对应的极大平面图中有12个顶点，各顶点的度都是5度。当构造出了第11个顶点时，图中只有9个顶点是5度的，还有两个顶点的度是4，且还缺少一个5度的顶点。这时就得把包括有这两个4度顶点在内的一个5边形（由三个三角形面构成）内的两条对角线去掉，使之真正成为一个5边形面。在这个面中再增加一个顶点就是5度顶点，正好图的顶点数也就达到了12个。同时位于5边形顶点上的那两个4度顶点也就都变成了5度顶点，再给这个顶点着色就行了。需要注意的是，这个5度顶点也可能会遇到颜色冲突问题，用解决5度顶点的颜色冲突问题的办法（具体的解决办法见中等篇幅和较长篇幅的论文中）解决就行了。现在，一个可4—着色的正二十面体对应的极大平面图的着色也就完成了。

雷  明
二○二一年六月一日于长安

注：此文曾于二○二一年六月一日以《与张彧典先生共同商讨另一种证明四色猜测的方法》为题在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=4412&show=0，稍作修改并增加了图后，重新与二○二一年六月九日在《中国博士网》上发表，并把题目改为《用逆向思维构造可4—着色的任意极大平面图来证明四色猜测》，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=4414&show=0

雷明85639720

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