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本帖最后由 小草 于 2021-5-23 00:52 编辑
x^n+y^n=z^n当n>2时没有正整数解
文/施承忠
证:
当n=1时
若x,y为任意正整数时,z就不能是任意的;当z和y为任意的正整数时,x就不能是任意的;当z和x为任意正整数时,y就不可能是任意的,所以x、y、z,至少有一个是不能任意的,它必须受其它两个正整数的约束。
当n=2时
x^2+y^2=z^2
我们只要证明y是任意素数时上式有整正数解就足够了.因为当y是合数时
设y=pq
若z^2-x^2=q^2成立,
则p^2z^2-p^2x^2=p^2q^2成立。
我们有
z^2-x^2=y^2
则z^2-x^2=(z-x)(z+x)
如果y是素数只有一种分解
y^2=1*y^2
则z-x=1
z+x=y^2
(y^2)-1/2=x
(y^2)+1/2=z
当n=3时
令y<x<z
(z^2-x^2)*y=y^3
=(z^2)*y-(x^2)*y=y^3
则
(z^2)*y<z^3
(x^2)*y<x^3
因为在z^2-x^2=y^2中
x=z-1
现在
3√((x^2)*y)=d<x
3√((z^2)*y)=e<z
z-2<d<z-1
x<e<x+1
因为x是正整数,x+1是正整数,e肯定不是正整数。
同样x也肯定不是正整数。
如果
(z^2)*y+m=z^3
(x^2)*y+m=f^3
则x<f<z,f肯定不是正整数。
如果
(x^2)*y+m=x^3
(z^2)*y+m=f^3
则x<f<z,结果相同。
所以x,z中至少有一个不是正整数。
令n=1时x=x1,n=n时x=xn
n=1时z=z1,n=n时z=zn
我们有
x-1<xn<xn-1<xn-2<...<x2<x
z-1<zn<zn-1<zn-2<...<z2<z
当n大于2时zn-xn<1
证毕。
其实当n很大时
(z*y^n-1)-(x*y^n-1)=y^n
则z→x→y,如果y是正整数,则z和x都不是正整数,经过变换z^n-xn^n=y^n,则xn→z,反之则
zn→x,所以z和x肯定其中有一个不是正整数。
y<x
则n√2y^n<z<n√2x^n
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