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a^n+b^n=c^n 对于 n=2^m(m>1)时,已有n=4时不成立证明,故略
剩下的情况可简化为 a^n+b^n=c^n , n为奇质数,且abc两两互质
则d=a+b-c,d>0,abc中有一偶数两奇数,2|d
(证明中不影响的多项式和都简化为M)
1) 当ab中一数为偶数时,假定为a
设x=(d,a)=2^y*z0,z0为奇数,y>0,a=2^y*z1,d=2^y*z2,且z1z2至少一个奇数
1> (a+b)^n = (c+d)^n
n*a*b^(n-1)+a^2*b*M1 = n*d*c^(n-1)+d^2*M2
2^y( n*z1*b^(n-1) - n*z2*c^(n-1) ) = 2^(2y)*M3
显然z1,z2都为奇数
2> 设A = a - d , B = b-d,显然 x|A
则 (A+d)^n+(B+d)^n=(A+B+d)^n
A^n+d^n+B^n+d^n = (A+B)^n +d^n + C(i,n)*d^i*[(A+B)^(n-i) - A^(n-i) - B^(n-i)] (对i 1到n-1求和)
d^n = nAB^(n-1)+A^2*M4+ABd*M5
2^(ny)*z2^n = A( nB^(n-1)+A*M4+Bd*M5 )
右侧括号内为奇数 则 A = 2^(ny)*z3,z3为奇数
3> 设 C = a - d/2 , D = b - d/2 ,CD显然都为整数
则 (C+d/2)^n+(D+d/2)^n=(C+D)^n
0 = C(i,n)*( [C^i - (d/2)^i] * [ D^(n-i) - (d/2)^(n-i) ] - (d/2)^i * (d/2)^(n-i)) (对i 0到n求和)
即 (n+1)*(d/2)^n = (C - d/2)*M6
[(n+1)/2^n]*[2^(ny)*z2^n] = 2^(ny)*z3*M6
则 2^n|(n+1) 显然不成立
2) 当c为偶数时
设x=(d,c)=2^y*z0,z0为奇数,y>0,c=2^y*z1,d=2^y*z2,且z1z2至少一个奇数
1> (c-a)^n = (b-d)^n
n*c*a^(n-1)+c^2*a*M1 = n*d*b^(n-1)+d^2*M2
2^y( n*z1*a^(n-1) - n*z2*b^(n-1) ) = 2^(2y)*M3
显然z1,z2都为奇数
2> 设 C = c + d
则 (C - b)^n + b^n = (C-d)^n
d^n = C( nb^(n-1)+ d*M7 )
右侧括号内为奇数 则 C = 2^(ny)*z3,z3为奇数
3> 设 A = c + d/2 , B = b - d/2 , 显然AB都为整数
(A - B)^n + (B +d/2)^n = (A - d/2)^n
0 = C(i,n)*( [A^i - (-d/2)^i] * [ (-B)^(n-i) - (-d/2)^(n-i) ] - (-d/2)^i * (-d/2)^(n-i)) (对i 0到n求和)
即 (n+1)*(d/2)^n = (A + d/2)*M8
[(n+1)/2^n]*[2^(ny)*z2^n] = 2^(ny)*z3*M9
则 2^n|(n+1) 显然不成立
3) 命题得证 n>2时该等式不成立 |
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