人类科学中现有经典极限论的终结 ( I )

ouyanggeng

人类科学中现有经典极限论的终结 ( I )
欧阳耿
（漳州师范学院 数学系，福建 漳州 363000）
摘要  深入分析了现有经典极限论中的两个重大缺陷及其对于数论研究、级数理论研究和第二次数学危机研究的影响。得到了“是经典无穷观的本质性缺陷导致了经典极限论中完全相同的本质性缺陷；以经典无穷理论体系及相关数谱为基础的现有极限论根本就没有能力解决现有人类科学中与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的所有悖论与数学难题”的结论。介绍了经典极限论的本质性缺陷，宣告经典极限论的终结。
关键词  基础理论学；经典无穷观；经典极限论；无穷小；芝诺悖论；第二次数学危机；实数论；调和级数悖论
中图分类号：O11      文献标示码：A        文章编号：1006-432X(2006)06-0029-06
基础理论学的研究使我们发现，在人类科学中，自从有了‘无穷’的概念就有了极限的概念。‘无穷’的思想与‘极限’的思想密切相关[1]。几千年来人类在科学中用极限的思想来思考、认识与‘无穷’概念相关的事物。而极限论作为一种认识、处理与‘无穷’概念相关的数学内容的重要工具和基础理论，它的存在形式、科学性与功能直接由无穷理论体系及相关数谱的存在状况所决定。无穷理论体系及相关数谱是极限论的基础。我们在文[2]中分析并认识了经典无穷理论体系中的三个重大缺陷，在文[3]中分析并认识了经典数谱的缺陷。下面的分析告诉我们，正是现有经典无穷理论体系及相关数谱的那些重大缺陷直接导致现有数学中经典极限论的两大缺陷，使人们在数学中对‘无穷’事物进行定性与定量的认识、计算时碰到了许多困难和许多无法逾越的障碍。
1．现有极限论中的两个致命缺陷
1．1 架空“实无穷”与“潜无穷”概念的极限论
   在文[2]中，我们了解到在现有的经典无穷理论体系中，人们确认‘实无穷’与‘潜无穷’概念的存在，确认二者之间的本质性区别，但是几千年来它们既存在却又无法得到明确的定义，从而产生了人类科学大厦中一个千古未决的难题------‘实无穷--潜无穷’之争。经典无穷理论体系中‘实无穷--潜无穷’不分及相关的数谱的缺陷[2、3]对现有经典极限论的直接影响，必然也是‘实无穷--潜无穷’不分，导致无法有效地、科学地对出现在数学中的与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的数学内容进行定性与定量的认识与描述；导致人们在经典极限论中根本就不可能科学地认识、描述、运算与‘实无穷’、‘潜无穷’概念相关的数学内容。在现有的极限论中，不管从理论上或操作上，‘实无穷’与‘潜无穷’概念是毫无区别的-------在经典极限论这里根本就不可能有什么‘实无穷’或‘潜无穷’概念 ，就只有‘无穷’！人们根本就没必要、不可能、也想不到要去了解用极限论所要处理的与‘无穷’概念相关的任何数学内容究竟是‘实无穷’或‘潜无穷’ ，更谈不上对具体的‘实无穷’或‘潜无穷’ 数学内容进行本应该有所区别的定性与定量的认识、描述和处理。在现有经典极限论中，既没有（不可能有）专门区别、处理‘实无穷小’或‘实无穷大’的数学手段，也不会有（不可能有）专门区别、处理‘潜无穷小’或‘潜无穷大’的数学手段，所有与‘无穷’概念相关的数学内容都毫无商量地成了‘实无穷--潜无穷不分’的笼统的‘无穷’ ：统一的名称、统一的规格及统一的处理方法。这导致了在现实科学中，用现有的极限论所认识、定义、处理的任何‘无穷’内容必然都既可以是‘实无穷’也可以是‘潜无穷’，没有任何原则和标准：在解决实际问题时，你高兴说某数是实无穷，它就可以马上具备‘据说’是实无穷性质的一切存在形式及表现而使人们得到一种结果，而你如果改口说它应该是潜无穷，则它也可以马上就具备‘据说’是潜无穷性质的一切存在形式和表现而使人们得到另一种结果。这直接导致了许多不可能有结果的争论与悖论的产生。
    ‘实无穷--潜无穷’不分的经典无穷观及相关数谱的缺陷产生了‘实无穷--潜无穷’ 不分的、无法对与‘无穷’概念相关的数学内容作定性与定量认识和处理的现有经典极限论。  
1．2无需考虑‘阿基米德性’的极限运算
  阿基米德性是‘数’、‘数学运算’的一种很重要的性质，而人类科学的现状却是，经典无穷理论体系及相关数谱的缺陷决定了人们根本就无法知道用现有的经典极限论所定义、处理的与‘无穷’概念相关的任何数学内容是否具有‘阿基米德性’ 。
几千年来，人类的科学中存在着一个巨大的理论空白：在迄今为止的所有数学内容中，从来都没有人对经典极限论所处理的数与‘阿基米德性’之间的关系给予系统的研究、论证。从来都没有人对与经典极限论相关的所有数学运算的可能性问题给予系统的研究、论证。当然，现有经典无穷理论体系及相关数谱的本质性缺陷是造成这一理论空白的主要原因之一。而由此所导致的现有经典极限论的缺陷使人类科学中与‘无穷’概念相关的各个数学领域成了‘阿基米德性’的真空地带。在与极限论相关的领域里，人们已经既无奈又‘心安理得’地习惯了这样一种状况：当打算让某些与‘无穷’概念相关的数量形式参与有穷数的运算时，就说它们是实实在在的‘充分小’或‘充分大’的是数的东西，而如果不想让它们参与有穷数的运算时，就搬出极限论的形式语言，说他们是变动的‘极限为零’或‘极限为无穷大’的不是数的东西，大家要牢记一个秘诀：谁也不准提起‘阿基米德性’及运算的可能性问题。事实告诉我们，在现有的经典无穷观及相关数谱中，人们无法认识极限论的本质，根本就不可能在质上与量上真正了解数学中所有与‘无穷’概念相关的数学内容究竟是什么、有多大，它们是‘实无穷’或‘潜无穷’ ，它们是否具有‘阿基米德性’，该如何处理它们……。经典无穷理论体系及相关数谱的缺陷决定了与之密切相关的经典极限论中这些内在的本质性缺陷是人类科学大厦中过去、现在一直无法解决的许多与‘无穷’概念相关的所有谜与悖论的真正根源[1~8]。
2．现有极限论的重大缺陷所导致的一些问题
经典极限论的重大缺陷使人们在处理与‘无穷’概念相关的数学内容时碰到了许多与数的‘质’与‘量’相关的问题，引发了许多难题与悖论，如下三个例子可以使我们略见一斑。
2．1 实数理论研究的混乱
有理数与无理数大家都很熟悉，可以有两种表达方式，即定性法和定量法。比如对于无理数，我们有：π=3.14159265…，e =2.71828182…，√2=1.41421356…，……。等式左边的表达方式就是定性法π，e，√2，……；而等式右边的表达方式就是定量法3.14159265…，2.71828182…，1.41421356…，……。无理数的这两种表达方式实际上对应于无理数的两种存在形式、状态：1）定性的、完整的无理数概念，如π，e，√2，…… ；2）定量的、可以用十进制小数表示的非完整无理数概念（无限不循环小数），如3.14159265…，2.71828182…，1.41421356…，……。尽管现有各层次的许多数学书上都毫无区别地使用这两种无理数概念，但笔者认为这两种概念之间存在着本质性的区别：第二种无理数概念是一种要完全依赖经典数谱和经典极限论的、通俗的、方便的无理数认识、表示法，本质上是一种以量来表示质的近似概念表示法。两种无理数概念不完全等价！两个最明显却又是最简单的事实就是：1）人们无法找到与第一种无理数概念相关的实数的通项公式，但却可以轻而易举地给出与第二种无理数概念相关的实数的通项公式。2）如果第二种无理数表示法与第一种无理数表示法完全等价，那么有理数和无理数就没有什么本质性区别了，因为人们可以用一个完全相同的十进制小数数阵来表示，列出所有的有理数和无理数：
  0        1          2         3        …     n       …
  0        0.1        0.2       0.3      …   n/10^1    …
  0        0.01       0.02     0.03     …   n/10^2    …
  0        0.001      0.002    0.003    …   n/10^3    …
  0        0.0001    0.0002   0.0003   …   n/10^4    …
  …        …         …       …      …    …       …
  0      1/10^k    2/10^k    3/10^k   …   n/10^k    …
  …        …        …        …       …    …       …
   ( n = 0，1，2，3，… ；k = 1，2，3，…)
人们相信，可在此数阵中找到任何用十进制小数表示的有理数或无理数，如π=3.14159265…，这只要在无穷的、相应的行中取出无穷的、相应的数字就行了。
    显然这里存在着一个很隐蔽的逻辑问题：在人类的科学中，人们用B来表示A并不意味着B与A完全等价、B就是A。在概念的认识与描述问题上更是如此。
    人们可能会想当然地认为如上两种无理数表示法（甚至认为有理数和无理数）都只不过是在数值上差了一些由极限论的‘ —δ’语言所定义的‘任意小’或‘无穷小’而已，根据现有的极限论，完全可以认为二者在数值上是没区别的，完全可以认为二者是等价的。在实数理论研究问题上，人们没有认清‘极限’的思想在科学中是一种用‘有穷’来认识‘无穷’的工具，而极限论在数学中仅是一种近似计算工具的本质（精确到由极限论的‘ —δ’语言所定义的‘任意小’或‘无穷小’）-------十进制小数充其量只能近似地表示无理数！经典无穷观及相关数谱的本质性缺陷使人们根本无法对小数表示法过程中所出现的‘任意小’与‘无穷小’数学内容作定性与定量的认识，无法知道他们究竟该属于‘实无穷’或‘潜无穷’，无法知道该在何时动用‘取极限’这一‘强大的武器’使无理数小数有穷化。经典极限论的本质性缺陷使人们滥用极限论。很遗憾的是数学中实数理论的不少内容就是建立在错误的无穷观、错误的数谱与错误的极限论基础上，建立在与第二种无理数概念相关的实数概念基础上。比如康托用对角线法证明实数不可数时，就是用一个本质上是有理数的十进制小数数阵在操作的：那个被康托在‘区间套法’和‘对角线法’实数不可数证明中硬说成是含有全体实数的数阵----序列（1），本来就仅含有部分的实数而已[7]！在现有的经典无穷理论体系及经典极限论中，康托的这种错误是一种很难避免又很难被觉察到的深层结构中的数学事故。按康托的思路，人们也可以轻而易举地用如上‘可列出全体实数的十进制小数数阵’来证明实数是可数的。自然数理论中有一个很经典的矛盾语句：不含有无穷大自然数的自然数集合是个无穷集合。整个实数理论、自然数理论、素数理论……实际上是整个数论，与极限论密切相关，经典极限论中的本质性缺陷使现有的数论研究神秘莫测，制造出了许多永远不会有结果的争论。   
    笔者并不认为我们应该抛弃与第二种无理数概念相关的实数概念，而是提醒人们注意并认识与两种无理数概念相关的实数概念的本质性区别，对极限论的本质与缺陷心中有数，使数学中有关实数理论的研究、数学基础理论的研究朝健康、科学的方向发展。
2．2 神秘的极限运算------悬而未决的第二次数学危机
三百多年来，人们一直认为以 ‘ —δ’语言为工具的极限论使‘标准数学分析理论’彻底解决了第二次数学危机。但是，在[4]中我们了解到三代数学分析理论（第一代：牛顿,莱布尼兹时代的数学分析理论，第二代：标准数学分析理论，第三代：非标准数学分析理论）是完全等价的------第二次数学危机名亡实存。本文所指出的现有极限论中的两个本质性缺陷使我们认识了‘ —δ’语言的本质，在另一个层面上再次证明第二次数学危机根本就没有得到解决。
2. 1 第二次数学危机的本质是什么？它要求人们解决什么问题？
第二次数学危机源于和无限趋于0的微增量dt相关的一类计算，人们当时称微增量dt 为‘无穷小’。在这类数学运算中人们碰到了两个难题：1）这个能参与有穷数运算的‘无穷小’是什么、有多大？2）微增量dt进、出有穷数运算式的可能性问题。由于当时人们无法解决这两个难题，所以导致了‘第二次数学危机’的产生。在这两个难题中，第一个难题被认为较简单、可以用形式语言来解决（但是，因为与经典无穷理论体系及相关数谱的科学性相关，事实证明它实际上也是个不容易解决的问题）。而第二个难题却是个明显非常困难的问题，因为它涉及到数的本质、现有数谱的构造、阿基米德性和数学运算的可能性问题，这个难题动摇了整个数学的基础。
2．2．2  第二次数学危机根本不可能在现有的数学理论体系中得到解决
微积分运算从一开始诞生以来，人们就知道微增量dt是个非常小的量，但却无法对它进行定性与定量的描述，无法认识它所表现出的数学行为。以极限论‘ —δ’语言为工具的第二代数学分析理论的成功之处在于它先是告诉人们“微增量dt就是可以用‘ —δ’语言来认识的充分小的量，是数”而让它参与有穷数运算，然后又改口告诉人们‘微增量dt是个无穷小，它不是数、只是个以0为极限的变量’而让它很有理由地离开算式。由于有了‘ —δ’形式语言来告诉人们微增量dt究竟有多大，也除掉了‘令dt=0’这一类粗暴、生硬的语言，矛盾缓和了许多，感觉好了许多。全部问题被转化成了两个名词：‘充分小’和‘无穷小’-------只要能领会、理解‘充分小’是数（实无穷）而‘无穷小’不是数（潜无穷），并且‘充分小’和‘无穷小’是可以转化的，就足够了。所以第二次数学危机就这样被连哄带骗地彻底解决了！但是几百年来人们一直对这样的解决办法感到不满意[3-4]。
首先，极限论缺乏普遍的、可操作的原则来告诉人们，所要处理的任何与无穷概念相关的形如dt 0的数学内容究竟是‘实无穷小’或是‘潜无穷小’ ，它们是什么、有多大！在具体的数学操作中，对于由‘ —δ’语言所定义的任何形如‘微增量dt’的数学内容，你高兴说它是‘实无穷小’，它就是‘实无穷小’，并且可以马上具备据说是属于‘实无穷小’的所有性质与表现；而你如果马上改口说它是‘潜无穷小’则它就可以是‘潜无穷小’，并且也可以马上具备据说是属于‘潜无穷小’的所有性质与表现。在现有的经典极限论中，既没有（不可能有）专门区别、处理‘实无穷小’的理论与数学手段，也没有（不可能有）专门区别、处理‘潜无穷小’的理论与数学手段。实际上，在极限论这里，所有由‘ —δ’语言所定义的、任何与无穷概念相关的形如dt 0的数学内容都毫无商量地成了‘实无穷--潜无穷不分’的笼统的‘无穷小’------统一的名称、统一的规格、统一的随心所欲的处理方法，‘实无穷小’与‘潜无穷小’在质上、量上与形式上是毫无区别的。
其次，迄今为止的所有数学分析理论从未触及与无穷概念相关的形如dt 0的数量形式的‘运算的可能性’问题，并且从未提供任何有效的证明让人们相信，‘不是数的微增量dt’为什么在微积分中能那么堂皇地参与有穷数的运算。在这里，人们将阿基米德性忘得一干二净。数学工作者几百年来一方面口中高喊所有与无穷概念相关的、形如dt 0的数学内容的‘无穷小’不是数，另一方面却又偷偷摸摸地、自言自语地说：其实所有‘无穷小’都是数，只要给它们另一个名称，就都可以参与有穷数的运算。并且睁一只眼闭一只眼地（实际上是很无奈地）就让它们非常自由地进、出各种有穷运算式，将‘数学分析’变成了没有‘分析’的流水线似的数学操作。事情变得异常的简单：每当想让形如‘无限趋于零的微增量dt’一类的数学内容参与有穷数运算时就叫它们‘充分小’，而不想让完全相同的这些东西参与有穷数运算时就改叫它们‘无穷小’------实施‘充分小’和‘无穷小’的转化。至于‘阿基米德性’，则成了可以随时附身的精灵，呼之即来挥之即去。这一切充其量就只是个换名称的问题--------极限运算神秘莫测，制造出了许多永远不会有结果的争论。
显然，人们根本就不可能科学、清楚地认识、处理这样一类由极限论的‘ —δ’语言所定义的笼统的数学内容。事实告诉我们：300多年来人们大肆称颂的‘ —δ’语言根本就不可能解决第二次数学危机向人类提出的两个难题！‘ —δ’语言与第二次数学危机的解决风马牛不相及！第二次数学危机根本就不可能在现有的数学理论体系中得到解决！
2．3 随心所欲的极限运算--------新发现的调和级数悖论   
Oresme于1360年左右在《欧几里德几何问题》小册子中给出了一个关于调和级数发散性的证明。我们可以在现有的，由任何语言所写的许多数学分析书中看到这个被公认的、很简单但却有着不寻常意义的证明（以下简称‘原证’）。当然是现有的传统‘有穷--无穷’理论体系及相关的数谱和极限论决定了这个证明的产生，使这个证明的整个思路、过程、结果在现有的理论体系框架中被当作共识所普遍接受。但我们的研究恰恰说明这个证明是2500年前芝诺悖论的又一个翻版。
调和级数是个无穷常减级数，Un 0 。级数中出现了人们常说的那种‘无穷小’数量形式。在这证明中所暴露的问题仍然是芝诺在2500年前所问的完全相同的问题：‘无穷小’究竟有多大？该如何处理它们？
我们将Oresme的证明摘引如下：
                                            （1）
     =１＋ ＋（ ）＋．．．＋（ ．．．＋ ）＋．．．             （2）
     >1+ ( )+．．．+( +．．．＋ )+．．．                            （3）
     =1+   ．．．                                              （4）
   对这个证明有两种解析：
A. 对级数（1）加上无穷多个括号而得到一个新的，含有无穷多个大于1/2的数的正数项无穷常增级数（2）；然后，通过Sn 的新级数（3）的发散性证得级数（1）发散。
B. 对级数（1）加上许多个括号而得Sn ，在此，k大于任给正数，然后取极限，当n 时，k ，因此正数项无穷常增级数（2）的Sn 而证得级数（1）发散。
    原证中的思路与做法是现有数学中传统的‘有穷--无穷’概念体系和与之相关的极限论中所存在的那种‘实无穷--潜无穷’不分、‘阿基米德性’不管的致命缺陷很彻底的表现。
    对于第一种解释，承认调和级数中的Un 这一事实，原证中那种使用多项式加括号法则去处理调和级数中的无穷多个Un 的数量形式而制造出无穷多个大于1/2的量的思路与做法不妥。这里我们发现了一个问题：如想对级数（1）加上无穷多个括号而制造出无穷多个大于1/2的量，就要求级数提供无穷多个被加的量，即需要n 。 但是当n 时，按定义，级数中必然出现无数以limUn = 0,  lim Un+1=0,．．．，limUn+a=0．．．的形式所表现的那类数量形式。按照极限论中处理X 0的数学内容的作法，我们应该将这些无限趋于0的数量形式从多项式运算式中赶走[4]，导致如此多项式运算的加括号法则失效，再也没办法制造出任何大于1/2的量了。所以，如此加括号法则仅能处理调和级数中的一部分数项而制造出许多个大于1/2的量，但却没有能力处理调和级数中的无穷数项而得到无穷多个大于1/2的量-----根本就不可能产生正数项无穷常增级数（2）。
对于第二种解释，我们承认可对级数（1）的有穷数项加上有穷多个括号而得Sn ，但如果接下去说‘要取极限’，而断言当n 时，k ，因此Sn ，就错了。与第一种解析中同样的道理，因为当我们说n 时，实际上就同时承认了limUn = 0,  limUn+1=0,．．．，limUn+a=0．．．这类事实的存在，它们本应该从多项式运算式中消失，而再也没有‘原料’让那样的一种多项式加括号法去制造出任何大于1/2的数了。这决定k根本就不具备趋于 的条件，Sn 的推论是完全没有根据的，是错误的-----根本就不可能产生正数项无穷常增级数（2）。
退一步说，如果有人想出一些理论，硬说原证中那种对实际情况不做任何分析而无限使用加括号法对调和级数进行处理的随心所欲的做法是允许的，那么我们只要改变原证中的加括号法则，依法炮制（如使式（2）中的每一项大于1或大于10或大于100……），就可以同样‘很有理由’地将调和级数变成任意的正数项无穷常增级数。这样，一个Un 的无穷常减级数就可以用加括号法象变戏法一样将其改造成任意的Un 的无穷常增级数，反之亦然！难道这样两种性质上有很大区别的无穷级数果然真的可以互相转化？这只能给原来的‘无穷’、‘无穷小’、‘无穷大’概念再添上一层神秘的色彩，使级数的研究神秘莫测，制造出了许多永远不会有结果的争论。
我们目睹了一个活生生的现代芝诺悖论的翻版：阿基里斯就是这个证明中的多项式加括号法，而乌龟就是调和级数。尽管善跑的阿基里斯步伐又大又快，但是在理论上乌龟将永远在他的前面----尽管多项式加括号法可以很快处理掉调和级数中的许许多多数项，但理论上却永远有无数可用多项式加括号法则去处理的数项。所以那里的阿基里斯永远追不上乌龟，而这里的多项式运算可以堂堂皇皇地得到无穷多个大于1/2的量。
在此，我们清楚地看到，在原证的整个证明中人们竟然可以完全不必分析级数中的Un  是什么意思，该如何处理它们，为什么可以那样处理？比如说，能否象在求导数的运算中那样，对这些无穷小数项（或叫无限趋于0的量）过一道“ —δ”语言手续，而让它们都成为‘不是数的东西’而从多项式加法运算式中消失，使证明中的加括号多项式运算没有条件无穷地进行下去。是数学家把这些问题给忘了吗？不！问题的关键是：在传统的有穷--无穷理论体系中该在什么时候、对什么样的数学内容取极限，是毫无理论根据的。而更重要的是：从芝诺时代起一直到现在，‘无穷’就是个很笼统的数学内容，人们根本无法用现有的极限论及相关数谱明确地认识、表现与‘无穷’概念相关的各种数量形式，无法认识调和级数中的无穷小Un 所表示的数学意义，无法知道它们是‘实无穷小’或‘潜无穷小’，无法知道它们是否具有‘阿基米德性’．．．．．．。该如何认识与处理这类与Un 有关的无穷小数项，人们既心里无数又认真不得[3~6]！显然，以现有数学中传统的有穷、无穷理论体系和与之相关的数谱和极限论，谁也无法自圆其说：为什么在数学分析的求导数运算中，可以通过对dx取极限或取标准数的做法让无限趋于零的dx从多项式运算式中消失，而在调和级数中的limUn=0 ，lim Un+1=0,．．．，limUn+a=0．．．却不该从多项式运算式中消失？与此同时，谁也无法自圆其说：用那样一种加括号法则去处理调和级数，究竟能制造出多少个大于1/2的量-------不是有穷多个就是无穷多个！当然，在现有的理论体系中，不管是哪种结论都会产生悖论。在经典无穷观和经典极限论中人们不敢怀疑也不可能怀疑Oresme的证明，而使Oresme的证明结论成为一个共识。
3．结论
几千年的人类科学史证明了这样一个无情的事实：由经典无穷理论体系及其相关数谱的致命缺陷所导致的经典极限论的致命缺陷使人们不具备应有的能力去科学地认识、分析、描述自己所面对的、所要处理的、与‘无穷’概念相关的所有数学内容的存在形式与存在意义，无法科学地处理它们------‘实无穷—潜无穷’不分、是否具有‘阿基米德性’不管、混淆不同的数量形式、使用统一的形式语言、套用统一的处理步骤[2~8]．．．．．．，这导致了在现有的数学大厦中与‘无穷’概念相关的数论、所有极限运算、级数理论和集合论这四大基础领域里存在着许多永远不会有结果的争论。
人类科学中现有极限论与经典无穷观及其相关数谱共命运。 新无穷理论体系及所对应的新数谱的建立[2、3]毫无疑问赋予了极限论新的科学内容和生命力，宣告经典极限论的终结。
    相等性原理、基础理论学、新无穷理论体系、新数谱、新极限论[1~8] ．．．．．．。人类的科学大厦正面临一场重要的新陈代谢巨变。
参考文献：
[1] 欧阳耿.一条金辫：类比-相等性原理-基础理论学（J）.宜春学院学报 2004,26（4）: 23-25
[2] 欧阳耿.人类科学中经典无穷理论体系的终结（J）. 河北理工大学学报（社会科学版） 2006,6（2）: 5-7
[3] 欧阳耿.数学中三种新的数量形式（J）. 咯什师范学院学报 2003,24（3）: 31-37
[4] 欧阳耿.数学分析中悬而未决的问题（J）.吉安师范专科学校学报, 1995,16（5）: 29－34
[5] 欧阳耿.数学基础理论中的两个缺陷 （J）.咯什师院学报（自然科学版）,2001,21（1）: 44-48.  
[6] 欧阳耿.又一个芝诺悖论的现代翻版----调和级数悖论（J）.咯什师范学院学报, 2003,24（6）:25-28
[7] 欧阳耿.罗素悖论与康托在集合论中的两个失误（J）.贵州师范大学学报（自然科学版）, 2002,20(3):81-84
[8] 欧阳耿. 无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源（J）.宜春学院学报 2005,26（4）: 26-29