∏(1-\(k\over P\))与∏\((1-{1\over P})^k\)及\(1\over{ln^k x}\)之间的关系

白新岭

∏(1-\(k\over P\))与∏\((1-{1\over P})^k\)及\(1\over{ln^k x}\)之间的关系
经过多次改写，终于达到预期效果，分析任意两组的比值极限

白新岭

还可以加上∑\(1\over n^k\)

白新岭

白新岭 发表于 2021-5-9 19:13
还可以加上∑\(1\over n^k\)

看一看随着k的取值，任意两组的比值在那个极限位置。

大傻8888888

k=2时
∏(1-2/p)=2c∏(1-1/p)^2（其中2＜p，c是孪生素数常数）
根据梅滕斯定理
∏(1-1/p)=[2e^(-γ)]/lnx（其中2≤p≤√x）
∏(1-2/p)=2c[2e^(-γ)]^2/（lnx）^2（其中2＜p≤√x）
k＞2时
根据推广的梅滕斯定理可以求出相应的结果

白新岭

大傻8888888 发表于 2021-5-10 10:18
k=2时
∏(1-2/p)=2c∏(1-1/p)^2（其中2＜p，c是孪生素数常数）
根据梅滕斯定理

大傻8888888先生可以把你原先与天山草先生讨论的话题，这些式子均由极限。的帖子在这里从新发布一下。

大傻8888888

白新岭 发表于 2021-5-31 11:54
大傻8888888先生可以把你原先与天山草先生讨论的话题，这些式子均由极限。的帖子在这里从新发布一下。

请搜索“ [猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？ 2018-9-5 22:31”即可。

yangchuanju

计算k生素数数量时还经常用到一些连乘积：       
∏p*(p-2)/(p-1)^2，∏p^2*(p-3)/(p-1)^3，∏p^3*(p-4)/(p-1)^4，……
第1个连乘积表达式用于二生素数的计算，p的下界≥3，上界无穷大（下同，不再标明）；
第2个连乘积表达式用于3生素数的计算，p的下界≥5；
第3个连乘积表达式用于4生素数的计算，p的下界≥5；
第4-5个连乘积表达式用于5-6生素数的计算，p≥7；
第6-9个连乘积表达式用于7-10生素数的计算，p≥11；
第10-11个连乘积表达式用于11-12生素数的计算，p≥13；
第12-15个连乘积表达式用于13-16生素数的计算，p≥17；
第16-17个连乘积表达式用于17-18生素数的计算，p≥19；
…………                               
由于连乘积是无穷多项的，连乘积的数值随着p的增大，逐渐减少，最终趋近于一个常数！（？）
如与孪生素数有关的哈李常数0.660161816…       
经计算当p取到97,997,9973,99991时2-16生的连乘积数值分别是：
生\素数        97        997        9973        99991
2        0.661377085        0.660245744        0.660168297        0.660162345
3        0.638693965        0.635408722        0.635185061        0.635167883
4        0.31093309        0.307729675        0.307512992        0.307496359
5        0.417571399        0.410396823        0.409915128        0.409878173
6        0.191915967        0.186970992        0.186641782        0.186616543
7        0.384273349        0.370426839        0.369513691        0.369443735
8        0.244997193        0.233249871        0.232483241        0.232424556
9        0.128631037        0.120723802        0.120213693        0.120174678
10        0.045530014        0.042044564        0.041822527        0.04180556
11        0.104972474        0.09519622        0.094581897        0.094535
12        0.040155474        0.035692532        0.035416207        0.035395134
13        0.129755537        0.112821423        0.111789507        0.1117109
14        0.074900018        0.063579006        0.062900823        0.062849222
15        0.035838018        0.029638965        0.029274335        0.029246626
16        0.011653475        0.009370668        0.009238984        0.00922899
连乘积究竟要取多少位，或p的上限取到多少，可根据您计算的生数和精度需要而定；
如您已经得到了p取无穷大时的常数值，最好直接取常数值为好！

yangchuanju

K生素数数量计算公式中的∏p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k 与素数计算公式中的∏（1-1/p）本是同一个（类）公式，
素数公式中的∏（1-1/p）是k生素数公式∏p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k的一个特例。
令k=1，公式∏p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k  =∏p^0*(p-1)/(p-1)^1  =∏1*1  =1，
实际上连乘积的下界是p≥3，上界无穷大；当p趋近于无穷大时∏（1-1/p）=∏（1-0）=1，两式是一致的。

来历推导：
取正整数n，第一步用2筛选，删掉除2以外的全部偶数，剩余n/2个数，相对于非常大的正整数n来说，素数2暂且忽略不计；
第2步用3筛选，删掉除3以外的全部3的倍数，剩余n/2*(1-1/3)=n/3个数，同样的原因，素数3暂且忽略不计；
第3步用5筛选，删掉除5以外的全部5的倍数，剩余n/2*(1-1/3)*(1-1/5)个数，素数5暂且忽略不计；
第4步用7筛选，删掉除7以外的全部7的倍数，剩余n/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）个数，素数7暂且忽略不计；
…………
第m步用素数p筛选，删掉除p以外的全部p的倍数，剩余n/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）*…*(1-1/p)个数，素数p亦忽略不计。
连乘积n/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）*…*(1-1/p)  =n/2*[(3-1)/3]*[(5-1)/5]*[(7-1)/7]*…*[(p-1)/p]  =n/2*∏(p-1)/p  =n/2*∏(1-1/p)。
这不就是∏(1-1/p)的来历吗？连乘号下界p≥3，上界无穷大。
计算小范围内的素数个数时，尚需通过多次取整并单独加上忽略掉的几个素数。

尚若计算哥猜数或孪生素数，用的连乘积公式是∏p*(p-2)/(p-1)^2或其变形公式。

白新岭

大傻8888888 发表于 2021-5-10 10:18
k=2时
∏(1-2/p)=2c∏(1-1/p)^2（其中2＜p，c是孪生素数常数）
根据梅滕斯定理

大傻8888888先生如果用连乘积与梅滕斯定理结合给出的k生素数的数量公式正确的话，则∏\((1-{1\over P})^k\)与\(1\over{ln}^k N\)的比值有极限。

白新岭

大傻8888888 发表于 2021-5-10 10:18
k=2时
∏(1-2/p)=2c∏(1-1/p)^2（其中2＜p，c是孪生素数常数）
根据梅滕斯定理

而且主楼提到的三个式子及2#提到的式子，任意两个的比值都有极限。