已知 a+b+c=1，a^2+b^2＋c^2=2 ，a^3+b^3＋c^3=3 ，求 a^4+b^4＋c^4

中国上海市

①求4√2＋2√6的平方根；②已知a+b+c=1；a∧2+b∧2＋c∧2=2；a∧3+b∧3＋c∧3=3，求a∧4+b∧4＋c∧4

天山草@

天山草@

中国上海市

你这个水平很高的，怎么想到的啊

luyuanhong

楼上 天山草@ 的解答很好！已收藏。

kanyikan

反复用公式(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)即可。
解：
1=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=2+2(xy+yz+zx)
∴xy+yz+zx=-1/2
2=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=x^3+y^3+z^3+xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2
  =3+x(xy+zx)+y(yz+xy)+z(zx+yz)=3+x(-1/2-yz)+y(-1/2-zx)+z(-1/2-xy)
  =3-(x+y+z)/2-3xyz=3-1/2-3xyz=5/2-3xyz
∴xyz=1/6
x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
                       =4-2((xy+yz+zx)^2-2(x^2yx+xy^2z+xyz^2))
                       =4-2((-1/2)^2-2xyz(x+y+z))
                       =4-2(1/4-2×1/6×1)
                       =4+1/6=25/6

天山草@

中国上海市 发表于 2021-4-15 21:06
你这个水平很高的，怎么想到的啊

答复中国上海市网友：  我上面的那个解答并不是水平高，只不过是跟别的网友刚刚学了一招：（绝对）对称多项式基本定理，任何三元对称多项式  \(f(x,y,z)\)  都可以分解成为用  \(x+y+z\)、\(xy+yz+zx\)、\(xyz\) 表达的形式。据说这是高等代数的内容。这个对于更多元的情况也适用，只是表达方式要变一下。例如对于二元，可分解为用   \(x+y\)、\(xy\) 表达的形式。
也由此想到一个题外话，我们的中等数学教育中，学生整天忙着做题刷题，倒不如教给他们一些有用的超过大纲的东西。用个比喻，战士整天摸爬滚打的辛苦练兵，倒不如给他们几件新式武器。

中国上海市

天山草@ 发表于 2021-4-16 00:41
答复中国上海市网友：  我上面的那个解答并不是水平高，只不过是跟别的网友刚刚学了一招：（绝对）对称 ...

多项式的内容以前高中代数学里面也有的，后来改掉就删除了