对构形、K—构形、H—构形的再认识

雷明85639720

对构形、K—构形、H—构形的再认识
——兼论四色猜测的证明
雷明
（二○二一年四月十四日）
1，给地图（即含有无顶环的，但不含有割边的3—正则平面图）面上的染色，就相当于对地图的对偶图（含有悬挂顶点的极大平面图）顶点的着色。所以一般情况下研究四色问题还是以研究极大平面图为方便一些。无顶环和悬挂顶点都是指地图中的“国中之国”。
2，还剩一个顶点未着上4种颜色之一，但与该未着色顶点相邻的顶点却构成了一个圈，把这样的图叫做构形。未着色的顶点叫待着色顶点，与待着色顶点相邻的顶点叫围栏顶点。由于待着色顶点总是处在一个轮的中心顶点上，所以把平面图的构形也叫轮构形。
3，由于任何平面图中都一定存在着度是小于等于5的顶点，所以在任何平面图中，就一定存在着轮幅顶点从1到5的五种轮构形是不可避免的会出现的，这就是平面图的不可避免构形集。这五种不可避免构形却不一定同时都出现，但至少是要有一种的。五种不可避免的构形中，其中只有4—轮构形与5—轮构两种是有可能会出现颜色冲突情况的，而其他三种都是可以直接给待着色顶点着色的。所谓颜色冲突情况，即是围栏顶点已占用完了四种颜色的情况，待着色顶点是乎是无色可着了，而只能用完第五种颜色。
4，坎泊构形的定义：通过坎泊的颜色交换技术可以直接空出四种颜色之一给待着色顶点着上的构形，就是坎泊构形，即K—构形。1879年坎泊已证明了这些构形都是可约的，即4—可着色的。
5，赫渥特构形的定义：不可通过坎泊的颜色交换技术直接空出任何一种颜色给待着色顶点着上的构形，就是赫渥特构形，即H—构形。现在研究四色问题主要就是要解决H—构形的可约性问题。
6，构成H—构形有两个必要的条件必须同时满足。一个是要有双环交叉链，另一个是不可连续的移去两个同色B。满足了条件一的，没有条件二的仍是可约的K—构形。如下图。

满足了条件二的，没有条件一的也是可约的K一构形。如下页图。

7，两个条件都满足的才是H—构形。如下下页图。

这三种颜色冲突情况的解法各不相同。前两者都有经过了关键顶点的环形链，图①有环形的A—B链，可交换环内环外的任一条C—D链，双环交叉链就断开了，构形就转化成可约的K—构形；图②有环形的C—D链，交换环内环外的任一条A—B链，双环交叉也就链断开了，构形也就转化成可约的K—构形。这两种交换方法叫断链交换法。因为A—B链与C—D链是两条互为相反的色链，是不能互相穿过的，所以不可能有A—B环形链与C—D环形链同时存在的可能。
图③是没有经过关键顶点的环形链的构形，不可能用断链交换法而只能用转型交换法，使构形的峰点进行不断的改变，再看是否可约。最多转型7次就可以解决问题，构型即可转化为可约的K—构形。
所谓关键顶点是指双环交叉链的共同起始顶点、交叉顶点与两个末端顶点。这四个顶点只要有任何一个顶点的颜色发生了变化，双环交叉链就不存在了。解决颜色冲突的H—构形，主要问题就是要破坏双环交叉链。
9、不可避免的颜色冲突构形的可4—着色问题都已经解决了，四色问题也就解决了。
10、在具体着色时，无论怎么着法，只要遇到一个顶点的周围顶点都已着色时，就是出现了一个构形。把其他未着色的顶暂时看作不存在，对这个周围顶点已着色的顶点按各种构形的解决办法着色后，接着再对其他未着色的顶点着色。反复进行以上操作，直到最后一个待着色顶点出现并解决之，一个图的4—着色就已完成。

雷  明
二○二一年四月十四日于长安

注：此文已于二○二一年四月十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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