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0.999... 到底等不等于 1 ?

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发表于 2021-4-6 17:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
0.999... 到底等不等于 1 ?

撰文 | 杨浩

1.  如何严谨地证明 0.999...=1 ?

知乎上有一个数学问题引发了大家的讨论——“如何严谨地证明 0.999...=1 ?”关于此问题的回答也是五花八门,各抒己见。这个问题的有趣之处在于不同数学水平的人会有不同的理解。



为了后面能够把这个问题讨论清楚,我们先整理了几个知乎上的高人气“抖聪明”答案。



上述几种方法分别代表了小学、初中、高中数学知识水平,在一定的知识能力范围内,这些证明似乎都正确。

那么,到底哪个才是足够严谨的证明?



0.999...  与 1 是不是真的相等?这就要追溯到几百年来数学家们对无穷小量的探讨之中。

2.  无穷小量的产生

无穷小量的产生来源于17世纪微积分的创立。微积分的诞生首先是为了解决一系列自然科学的问题(求瞬时变化率、求曲线的切线等等),牛顿(Isaac  Newton, 1643-1727)和莱布尼兹( Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)先后独立地建立了微积分理论体系。





针对这些疑问,牛顿和莱布尼兹意识到微积分存在的问题,也各自作出了回应。

1671年,牛顿阐述:变量是由点、线、面的连续运动产生的。1676年,他又说,流数(变量的变化率)是增量的最初比。

莱布尼兹在1690年写给沃利斯的信中说:“考虑这样一种无穷小量将是有用的,当寻找他们的比时,不把它们当做是零,但是只要它们和无法相比的大量一起出现,就把它们舍弃……”

可以看出,他们试图把自己的理论说清楚,但无穷小量的确切含义,仍然十分模糊。

3.  无穷小量的争议与解决

18世纪初,微积分的不严密性招致了教会的攻击。由于害怕机械论和决定论对宗教的威胁,英国大主教贝克莱于1734年发表《分析学者》一文抨击牛顿是 “依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。

数学家们当然不能容忍这种对数学的轻蔑,他们立即加入了争论,并且继续尝试给微积分提供严密的基础,虽然大部分都失败了,但我们不能否认的是,在得到正确的结果之前,有一些数学家的贡献是不可忽视的。







如今,实数理论进一步发展为实变函数论,已经成为微积分的一个重要分支,实变函数也是数学专业大学生的主要课程之一。

4.  无穷小量、极限和高中数学的关系

现在我们可以发现 0.999…=1 的问题,本质上是数学基础的问题,它反映了实数的稠密性和完备性。

对于任意正有理数 ε,都有 1-0.999…<ε,于是根据康托尔对实数的定义,0.999… 与 1 就是同一个实数。

换句话说,如果这两个数不相等,那么实数理论,以及建立在实数系基础之上的微积分的大厦将会崩塌。

在高中阶段,我们也会学习简单的微积分知识,比如导数和定积分的运算,在数学中,我们可以运用导数解决函数的最值问题;在物理中,可以根据位移函数求瞬时速度和加速度,也可以解决简单的天体物理运动问题。



因此,高中数学课本中对导数的解释其实是有些模糊不清的,事实上,到大学数学分析中,我们才能学到函数的连续性、导数、积分最明确、严谨的定义。数学是最讲逻辑的学科,数学家们花了近3个世纪,才把微积分的理论从建立到完善,甚至直到今天,还有一些悬而未决的问题。

相信大家看完文章后,也会对微积分、对数学有全新的认识,直观感受有时也会导致错误的结果。我们以后在思考问题的过程中,也要争取像数学家们一样,力求严谨,不能似是而非。

本文转载自微信公众号“新东方智慧学堂”。原标题为《0.999...到底等不等于1?400多个知乎回答,都不算对》。

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