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实数 x, y 满足 2x^2+xy-y^2=1,求分式函数 (x-2y)/(5x^2-2xy+2y^2)的最大值和最小值

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发表于 2021-4-4 14:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
若实数 \( x, y\)  满足 \( 2 x^2 + x y - y^2 = 1\),

求\(\frac{x-2y}{5 x^2 - 2 x y + 2 y^2}   \)的最大值和最小值。

取最值时 \(x, y \) 等于多少?

 楼主| 发表于 2021-4-4 21:08 | 显示全部楼层
这个题目,约束方程是一条双曲线。待求式是系列椭圆,当椭圆与双曲线相切时,切点处的  x,  y  坐标就是待求式取得最值时的坐标。


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发表于 2021-4-4 21:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-4-4 21:20 编辑

思路:由2x^2+xy-y^2=1有(x+y)(2x-y)=1。令x+y=tanθ,则2x-y=cotθ。这样可以对要解决的问题做降元处理。....
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 楼主| 发表于 2021-4-5 15:10 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-4-4 21:18
思路:由2x^2+xy-y^2=1有(x+y)(2x-y)=1。令x+y=tanθ,则2x-y=cotθ。这样可以对要解决的问题做降元处 ...

按下面方法也可以降元处理:




然后呢? 如何求最大最小?

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发表于 2021-4-5 20:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 中国上海市 于 2021-4-5 12:28 编辑

你就令m-1/m=u,再令u/2+u2=t,用一元二次方程解题
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发表于 2021-4-6 16:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 中国上海市 于 2021-4-6 13:26 编辑

解答过程附件文件
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发表于 2021-4-6 19:53 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-4-7 14:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-4-7 20:53 编辑

整理一下中国上海市的方法如下。其中用到了求导数。

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发表于 2021-4-7 16:19 | 显示全部楼层
楼上 天山草@ 的帖子和 中国上海市 的解答都很好!已收藏。
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发表于 2021-4-8 05:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 中国上海市 于 2021-4-8 10:00 编辑

根据天山草的步骤往下做,其实很简单了



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点评

謝謝老師  发表于 2021-4-13 14:26
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