当0<a<1时，实数a可以展开成以2为底的幂级数形式，自娱自乐

awei

\[0<a<1\]
\[a=\frac{1}{2}-\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n-1} \text{sgn}\left(\sin \left(2^n \pi  a\right)\right)\]
例1:
\[\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{128}-\frac{1}{256}+\frac{1}{512}-\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}……\]
例2:
\[\frac{5}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}-\frac{1}{512}+\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}……\]
例3:
\[\frac{1}{\pi }=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}-\frac{1}{128}-\frac{1}{256}+\frac{1}{512}-\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}……\]

awei

余项其实也好计算，不为了考试，不为了分数，只为了兴趣

awei

这玩意绝对和傅里叶级数有种说不清道不明的联系