\[f(x)=\sum_{n=-∞}^{+∞} 2^{-n}×\frac{sgn[f(x)]-sgn[sin(2^nπf(x))]}{2}\]

awei

\[\{x,f(x)\}∈R\]
\[f(x)=\sum_{n=-∞}^{+∞} 2^{-n}×\frac{sgn[f(x)]-sgn[sin(2^nπf(x))]}{2}\]

awei

函数这样的展开，意味着什么，我不知道，但是每一个函数都可以用正弦和符号函数展开，总是觉得奇怪

awei

等式绝对是成立的，我最不可思议的地方，如果等式两边同时求导，会是什么样子。符号函数求导，尽管有些文章说，与狄拉克函数有关，然而在这里是不成立的

elim

实数二进小数通式： \(v=\text{sgn}(v)\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}\big(\lfloor 2^{-n}|v|\rfloor-2\lfloor(2^{-(n+1)}|v|\rfloor)2^n\)
是一切这类问题的钥匙。

awei

elim 发表于 2021-3-13 11:14
实数的二进小数通式： \(v=\text{sgn}(v)\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}\big(\lfloor 2^{-n}v\rfloor- ...

这个公式是谁的？我没有用取整符号，只是想和圆周运动联系在一起，这样对于物体角速度的测量，就可以转为为对于物体处于那两个半圆的测量。
这是我自己的实数二进制公式
\[a\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty } \ 2^{(-1)^n\left\lfloor n/2\right\rfloor }×\frac{\text{sgn}[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{(-1)^{n+1}\left\lfloor n/2\right\rfloor } \pi a\right)\right]}{2}=a\]
\[a\in \mathbb{R},\sum _{n=-{\infty }}^{\infty } \ 2^{-n}×\frac{\text{sgn}[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{n } \pi a\right)\right]}{2}=a\]
把公式稍微变形
\[0＜a＜2\pi，\sum _{n={ 0}}^{\infty } \ 2^{-n}×\frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{n }  a\right)\right]}{2}×{\pi}=a\]
当经历\(2^nΔt\)时间，角速度为a/Δt，记录\(\sin(2^nΔt×a/Δt)\)的正负值，通过公式就可以得出a的值

awei

elim 发表于 2021-3-13 11:14
实数的二进小数通式： \(v=\text{sgn}(v)\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}\big(\lfloor 2^{-n}v\rfloor- ...

老师您把负数向下取整的意思搞反了吧，例如-2.3向下取整为-3，

awei

elim 发表于 2021-3-13 11:14
实数的二进小数通式： \(v=\text{sgn}(v)\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}\big(\lfloor 2^{-n}v\rfloor- ...

正确的写法应该是：
\[v=\text{sgn}(v) \sum _{n∈Z} 2^{n}\left( \lfloor \ 2^{-n}\text{sgn}(v) v\rfloor -2 \left\lfloor 2^{-(n+1)} \text{sgn}(v) v\right\rfloor \right)\]
或者
\[v=\text{sgn}(v) \sum _{n∈Z} 2^{n}\left( \lfloor|2^{-n} v|\rfloor -2 \left\lfloor |2^{-(n+1)} v|\right\rfloor \right)\]

elim

楼主说得对．我的本意是说只要考虑非负的\(v\)，在求和号外面乘上符号函数就可以了．而非负的\(v\)就是\(|v|\)． 已订正．
这个式子给出了一个实数的二进制表示中\(2^n\)的系数．或\(n\)位置的数码．实数的任何其他二进表达的正确性可以用它验证．