2016年初,我因帮助一家学术出版社审阅了一本书稿的计划书,为了感谢我的辛苦劳作,编辑让我挑选价值150美元的礼品书籍。在出版社的书单中,我第一眼就挑出一本。在当年暮春初夏,我从头到尾通读了这本450页、出版于2009年的英文口述历史书,书名是 Recountings: Conversations with MIT Mathematicians(《回顾 :与麻省理工学院数学家交谈录》)。该书编者的父亲塞格尔 (Lee A. Segel,1932-2005) 是也当过“学院教授”的杰出华人应用数学家林家翘 (1916-2013) 先生于1959年在那里带出的博士。由于这层关系,他对麻省理工学院数学系的一打资深教授进行了深入采访,出版成书,辛格教授自然也在其中。辛格向采访人重点描述了他在那里第一年的有趣故事。在此我转述他刚到校园的第一天经历。
不仅数学家们对辛格感激涕零,理论物理学家也对他感恩戴德,因为他和杨振宁的一次交往导致杨-米尔斯理论进入了数学家的视野。规范场的概念于1918年由德国数学家外尔提出,用于电磁场的不变性,但他的理论没有得到爱因斯坦的青睐。1954年即外尔去世的前一年,杨振宁和米尔斯 (Robert Mills,1927-1999)将他的理论修改并且处理了“非阿贝尔”的情形,所得到的非线性偏微分方程是电磁学中麦克斯韦 (James Maxwell,1831-1879) 方程组的推广。顺便一提,米尔斯比费曼迟九年获得美国大学生普特南数学竞赛的“Putnam Fellow”称号,即打入了个人成绩前五名,所以他和杨振宁一样都是数学家的料子。但是杨-米尔斯方程在二十年内并没有引起数学家们的足够关注,即使60年代后也仅仅在一部分理论物理学家中流通。到了1975年,杨振宁先生通过他的数学家同事、和陈省身亦师亦友并共同提出陈-西蒙斯理论的西蒙斯,对纤维丛的数学概念有了充分的理解,并着迷于他的规范场公式与黎曼几何中的一个公式在形式上的惊人相似之处。于是他和自己曾经的“编外弟子”、哈佛大学的物理学家吴大峻 (1933-) 在那一年发表了一篇三页短文Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields(《不可积相因子概念与规范场的整体表述》),其中他们列出一张对照清单,表格的左半边为规范场术语,右半边为纤维丛术语。正是这篇论文,点燃了辛格从已献身四分之一世纪之久的纯数学华丽转身到大学时代初恋情人物理学的火焰。
那是在1976年夏天,应昔日所教学生西蒙斯的邀请,辛格去了石溪大学(当时叫纽约州立大学石溪分校)数学系访问,其时系主任西蒙斯安排了老师与本校的爱因斯坦教授及理论物理研究所所长杨振宁会晤。杨教授向来宾介绍了他和吴大峻的上述文章。数学眼光犀利的辛格一下子就被这张“数学-物理联络图”吸引住了,而该对照表中右边恰好有一项“主纤维丛上的联络”,对应着左边的“规范势”。同年秋天,辛格又去访问老搭档阿蒂亚,向他转述了吴-杨的工作。他俩和阿蒂亚四年前带出的博士希钦 (Nigel Hitchin,1946-) 三人合写的、于1977年4月在数学家同行中开始广泛传播的著名文章Deformations of instantons(瞬子的变形),直接运用阿蒂亚-辛格指标定理,发现了杨-米尔斯方程的自对偶解。这篇文章引发了数学界对杨-米尔斯方程研究的一股浪潮,至今尚未消退。