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周向宇:从复数谈起

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发表于 2021-3-5 18:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
周向宇:从复数谈起

本文由周向宇院士12月16日于北航沙河校区所作报告整理而成(部分内容),数学经纬网授权发布。


周向宇  中国科学院数学与系统科学研究院研究员,中国科学院院士,发展中国家科学院院士。周院士主要从事多复变与复几何的研究,在多复变领域取得一系列具有国际领先的研究成果,证明了扩充未来光管猜想与Sergeev猜想,与合作者解决了Demailly关于乘子理想层的强开性猜想。曾获国家杰出青年科学基金、求是杰出青年学者奖、陈省身数学奖、国家自然科学奖二等奖、陈嘉庚科学奖。

周院士从复数产生的历史谈起,阐述复数及复变函数的神奇作用,说明“虚数”不虚及数学的“无用之用”,兼及中国古代数学思想。

一. 复数产生的历史背景

今天的题目是“从复数谈起”,这个题目是模仿我导师陆启铿先生的老师华罗庚先生。华罗庚先生写过很多科普著作,标题是“从……谈起”,比如《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》、《从孙子的“神机妙算”谈起》等。我们要讨论数学的内容,应该要从历史的分析开始,在考虑数学概念和数学思想时,要注意它的来龙去脉。复变函数有几个关键词: 复数, 变量, 函数。先从复数的引进谈起。

提到复数,自然会想到 x^2+1=0,但并不是直接因为这个方程的求根问题而马上引入了复数。引入复数的真正源头是从三次方程的根式求解开始。主要的两位数学家是丰坦纳(Fontana)和卡尔达诺(Cardano)。丰坦纳是这位数学家的姓,但现在很多人叫他Tartaglia(塔尔塔利亚,意为口吃者),因为丰坦纳小时候脸部受伤,之后就留下了后遗症——口吃。丰坦纳不在意这个称呼。数学家卡尔达诺央求丰坦纳得到了关于求解方法的一首隐晦的诗,并于1545年发表在自己的著作《Ars Magna》(大术)中。关于两人的故事可以讲很长,这里不多谈。


卡尔达诺:意大利文艺复兴时期百科全书式的学者



另外,中国数学家在高次方程的数值求解问题上做出了很大的贡献。隋朝时期有大量的工程,像土木工程、水利工程,这些工程中自然就产生了三次方程。后来,唐朝王孝通撰写《缉古算经》,给出三次方程的数值求解,可以满足实用需求;北宋贾宪发现“增乘开方法”,贾宪三角可以做到一些高次方程的数值解;南宋秦九韶完成《数书九章》,发现“正负开方法”,给出任意高次方程的数值解,此即19世纪的Horner方法。秦九韶还给出了一般的一次同余式组的解法,比高斯早五百五十余年,被称为“中国剩余定理”

二. 虚数的争议

虚数产生之后,在数学界引起了巨大的争议,其中主要分成三派。一派认为虚数是有的,比如沃利斯,他试图用几何方法解释虚数。沃利斯是杰出的数学家,是微积分的先驱者之一。另一派是不承认或反对虚数的,以数学家笛卡尔为代表,他引进了法语imaginaire,认为虚数是想象的、虚构的。其他代表人物有牛顿和引进对数的数学家纳皮尔(Napier)。第三派是莱布尼茨的模棱两可派。莱布尼兹在1702年曾说:复数“犹如存在和不存在的两栖物”。




高斯

三. 复数的解释

前面提到复数的产生存在很多争议,那复数在现实中怎么可视化呢?最早发现这个关系是数学家韦塞尔,他从平面上的一个点,给了复数几何和向量的解释,使得复数能用XY平面可视化。后来高斯在1831年也提出这样的平面表示法,阿尔冈稍早也有类似发现。所以现在有的数学家把复数平面叫作阿尔冈图表(Argand diagram),而有的数学家叫高斯平面,我们现在叫复平面。复数有大小和方向,与力、速度、加速度等物理量的特征相符,可直接应用于电气工程,以描述交变正弦电流和电压。复数还和矩阵有个一一对应的关系,这种对应保持了代数运算。



四. 复数的结构

复数集有丰富的结构。这个在现代数学里面很重要,它反映了现代数学的结构思想。复数有代数结构,如群、环、域、线性空间的结构。加减乘除和实数域一样,有交换律,结合律,分配律。不同的地方是,复数可以进行开方运算,这是比较重要的。后来逐渐发展出了四元数、八元数等等。但是四元数的乘法不再有交换律;八元数更是连结合律都没有了。

实数域有一个重要的结构:序结构,可以比较大小。对于复数,虽然你可以给它一个序,但是这个序一定不会和代数结构相容,就是与域结构不相容。所谓与域结构相容(即有序域)就是说,对于序 a<b,两边都乘以一个正数,仍然保持这个序。实数域是有序域。而对于 i,如果 i 大于 0,两边都乘上 i,就得到 i 的平方大于 0,i 的平方显然是 -1,-1 大于 0,矛盾;同样如果 i<0,两边都乘上 -i,也可以推出矛盾。所以复数上的序不可能和域结构相容,即复数域不是有序域。

复数域与实数域维数也不同,一个是 1 维,一个是 2 维。对于实轴,就像一个人走直线,在前面挖了一个点,没法绕过去。如果是在平面走,你可以绕过去。还有复数具有共轭结构。复数集有丰富的代数、几何、拓扑、分析结构以及复合结构,是最基本、最简单的具有复合结构的复流形及复李群,后者是现代数学的基本研究对象。

五. 复数的奇妙

复数有很多奇妙的用处。高斯引进复整数来解决二平方和问题:哪些正整数可以表示成两个整数的平方和,有多少表示方法?因为一个整数写成 a^2+b^2 ,那就等于 a+bi 乘上 a-bi ,所以他引进复整数,然后他证明这种数跟整数有类似的性质:任何一个自然数都可以分解成素数的乘积。利用这样一个基本的虚数关系就把二平方和问题完全解决了。

库默尔引入分圆域(有理数域添加单位根这样的虚数而生成的数域)研究费马大定理,是代数数论的一个源头。上世纪90年代解决费马大定理,要用到模形式、椭圆曲线,这也是离不开复数的。这个猜想看上去是和复数一点关系也没有,但到最后解决它离不开复数。


陈省身

陈省身先生说过,复数的引进是数学史上的一件大事情。第一届菲尔兹奖获得者阿尔福斯也说,对函数做圆满的分析,通常需要考虑它们在复数域上的性质,因为复数域是一个代数闭域。阿达玛说,实数域中两个真理之间最短的路径是通过复数域。3次方程求根在实数域上求不出,绕到虚数上自然就能求出。这是一个很重要的思想。

六. 函数概念的发展

刚开始强调的复变函数的几个关键词,其中有变量,笛卡尔说这是未知和未定的量,而在中国更早我们就把它叫“天元”,像李冶等还形成了一套天元术。宋元四杰(李冶、秦九韶、杨辉、朱世杰)在中国古代数学发展中有非常重要光辉的事迹,到朱世杰时,他已经可以做四个变元多项式方程组了。事实上,把天元引进到数学是非常重要的,可以说是数学上的转折点,因为这样就有了变量。这里顺带说一下,我们现在把“algebra”称为“代数”,是李善兰先生翻译的,用的是韦达的观点,用符号来代替数。


李冶

函数可以看作是变量之间的联系(关系),是数学里一个非常基本的概念,是描述变化和运动的语言。李善兰曾给出定义:凡式中含天,为天之函数。这个“天”就是“天元”,“天之函数”就是变量的函数。在国外早期的研究者,如奥雷姆、笛卡尔、费马等,他们是考虑图形的轨迹来研究函数的。函数是数和形的一个桥梁。在现代,常常提函数的图像,有函数就有对应的图像。我们常说“点动成形”,点作为变量在变动,自然形成了形。过去研究的都是比较经典的曲线,函数出来以后,就能研究无限多的、任意的曲线。所以,函数有代数的符号含义,也有几何的意义,还能体现物理的规律。研究物理规律,像Stevin, Kepler, Galileo有关数学物理方面的工作,函数是作为一个基本工具的。

“函数”这个词是莱布尼兹提出的,还有“变量”、“参数”、“参变量”,都是莱布尼兹引进的。他引进的词现在都还在用,牛顿用的“流量”现在基本上不再用了。过去函数只是附带的、不是主要的研究对象,从欧拉开始,函数被认为是一个主要的研究对象。

有了函数自然要研究它的极限,大学课程里的收敛、连续、微分、积分等的一个共同出发点就是极限。在古代中国,极限思想是很丰富的。名家惠施有言:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”(见庄子《天下篇》)。这话写成数学语言应该是这样:

你不可能写成有限项,你必须写成无限项。还有墨子说:“一条线段从中点处分成两半,取一半,再将该一半破成两半,仍取其一半,一直取到其不能被分割的时候,自然就是一个点了。”这实际就是区间套定理,我把它称为墨子半分法。我们可以用墨子半分法证明致密性定理、聚点定理、有限覆盖定理,还有连续函数的零点存在定理等等。


墨子

“有穷”、“无穷”是墨家的常用术语。到后来,刘徽发明“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”。这段话本身就在讲一个极限。再后来,祖冲之和他的儿子祖暅写了一本书《缀术》,现已失传。“缀”有连续的含义,我认为书中有大量的极限思想。其中有非常著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”。意思是有两个立方体,如果它们的平行截面面积都相等,那么它们的体积相等。这在国外叫卡瓦列里原理。祖暅更早提出并以此回答了刘徽以牟合方盖求球的体积的遗留问题。

七. “虚数”不虚,“无用”之用

如今工科学生学复变函数课程是非常基本、非常普遍的。钱学森在加州理工学院求学时就学习了当时比较前沿的复变函数论。在我看来,如果不懂复变函数,大概不能称为是一个好的工程师

这里我要强调,“虚数”不虚也反映了一个非常重要的一个理念,就是“无用之用”。在最初研究复数时,人们觉得它没有实用,但现在应用非常广泛。在前苏联,拉夫连季耶夫和沙巴特写了一本书《复变函数论方法》。两位杰出的数学家在这本书里阐释了很多例子反映了复变函数的重要应用,包括在流体力学、气体动力学、弹性力学、电磁学、电工学、电路计算、机翼设计等等方面。

数学一个很重要的作用就是“无用之用”,事实上“无用之用”是庄子最早于《庄子·人间世篇》提出来的,他在那时候就已经提醒我们,“人皆知有用之用,而莫知无用之用也”,无用之用确实非常深刻。他举了一个例子。有个人看到一棵大树很茂密,就问伐木人,说你们为什么不砍伐它?伐木人说,这棵树,如果用来做船,就会沉下去;如果用来做门窗,就会渗液而合不拢;如果用来做屋柱,就会被虫咬而不牢靠;如果用来做棺材,就会很容易腐烂,所以没什么用。结果庄子就发感慨,你看它没用,它却活得很长,正是大用;另外还可以让很多人和牲畜在它底下避雨遮荫,因为它枝繁叶茂。


庄子

由此可见,庄子非常有思想,他是一位辩证法大师。“无用之用,方为大用”——没有用的用处,才是最大的用处。当时没有用,但到后来就有用了;从这个角度看没有用,但从另外一个角度看有重大意义。“无用之用”的科学研究在于构建科学知识体系。《周易·系辞上》中讲“探赜索隐,钩深致远”,以及“格物致知”,这就把科学研究的本质讲得很清楚。科学研究的真谛就是要探索深奥隐秘的问题,探索未知来获取新知,就是要构建科学知识体系。徐光启说过:“无用之用,众用之基”,人们正是通过科学知识体系找到众多应用来造福人类。

虚数虽然当时没有实用,但对数学科学知识体系是一个重大贡献。所以在我看来这本身就是一种用,你不能把“用”字局限于实用,科学知识体系是人类宝贵财富,是无价之宝。比如阿波罗尼奥斯(Apollonius),他研究圆锥曲线,在当时既没有实用背景,也没有实用的目的,完全是“无用之用”。到了两千年以后才发现应用,开普勒发现了行星运动规律,行星运动轨迹是椭圆;人们发现炮弹飞行轨迹是抛物线;以及现在的定位系统与双曲线有关等。定位系统为什么叫双曲系统?通过地面物体发出的光或者发送的信号,信号被卫星接收的时间的差总是一个定值,且信号发送的速度是一样的,从而物体到这两个卫星的距离之差是一个定值。一个动点,如果到两个定点的差是一个定值,这是双曲线的一支。多点定位系统用这个思想来定位,所以叫双曲系统。

数学里的拓扑,也属于无用之用。在2016年获得诺贝尔物理奖是因为拓扑相、拓扑相变的发现,现在拓扑绝缘体、拓扑材料都是拓扑相关研究,非常活跃,而过去拓扑是没有实用的。今年诺贝尔物理学奖是颁给彭罗斯等关于黑洞发现的工作,彭罗斯引入基础数学研究时空的奇点,预言了黑洞的存在;他在1978年国际数学家大会上一小时大会报告的题目是“自然界的复几何”。还有布尔研究人类思维活动所揭示的规律(逻辑思维规律),发现了布尔代数,当时既无实际背景与实用需求,也没实用目的,此后才产生了很重要的实用,现在在人工智能中起一个非常基础的作用。1938年,香农在其硕士论文中,注意到电话交换电路与布尔代数之间的类似性,即把布尔代数的“真”与“假”和电路系统的“开”与“关”对应起来。于是他用布尔代数分析并优化开关电路,奠定了数字电路的理论基础。布尔代数是芯片的基础。华为很重视基础科学研究,土耳其Arikan教授发现极化码,极大提高5G编码性能。2016年,国际移动通信标准化组织3GPP确定了5G增强移动宽带场景的信道编码技术方案,其中华为的极化码成为控制信道的编码方案。Arikan的论文犹如数学论文。这些都是极好的说明数学“无用之用”的例子。

八. 愚公的数学思想

下面谈谈我对《愚公移山》寓言故事除了通常解释外的理解。

愚公开协商之先河。作为一家之长的愚公在移山前,不搞一言堂,“聚室而谋”,“其妻献疑”,采纳了其妻的合理建议。这生动诠释了有事好商量、众人的事众人商量、不搞形式主义、真协商、协商于决策之前、决策基于科学等协商精髓。


愚公移山

另外,《愚公移山》蕴涵深邃的数学思想,为什么?愚公回复智叟的话事实上包含了两条十分重要的数学原理:

前半部分相当于定义了自然数,认识到了自然数的无穷性(国外称Peano定理,19世纪末完成)。后半部分其实就是衡量微积分正确与否的实数理论基石——阿基米德原理。

“虽我之死,有子存焉;子又生孙,孙又生子;子又有子,子又有孙;子子孙孙无穷匮也”。其实这里是定义了自然数,认识到了自然数的无穷性。以此定义自然数,显见自然数的交换律与结合律。愚公子孙的辈分集与自然数集构成一一对应,愚公子孙的辈分集也是愚公子孙们的等价类集,这里,愚公的两个后代称为等价的当且仅当这两个后代属于同一辈分。设愚公本人对应于0,其子辈对应于1,其孙辈即其子之子辈对应于 1+1=2;设愚公某后辈对应于 n,则该后辈之子辈对应于 n+1 。这样定义自然数的方法可以称为愚公子孙模型。

从愚公子孙模型容易看出自然数的运算规律。先来看交换律:比如 1+2 与 2+1 。在愚公子孙模型中,1+2 对应于其子之孙辈,即曾孙辈;而 2+1 对应于其孙之子辈,亦即曾孙辈。所以 1+2=2+1 。再来看结合律:比如在 1+1+1 中,前两个 1 相加,即 2+1;后两个 1 相加即 1+2,由刚才的解释,所以有(1+1)+1=1+(1+1) 。

“子子孙孙无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”。设山的土石方量为 b>0(可能非常大),愚公家族每一代挖的土石方量为 a>0(a可能非常小)。一代挖 a,两代就是 2a,到了第 n 代,那就是 na。因为“山不加增”,就可以把 b 设为常数。“子子孙孙无穷匮”,这就意味着自然数 1,2,3,……,n,…… 是可以趋于无穷的。所以愚公断言,总可以找到一个自然数 n,使得 na>b 。此即有名的阿基米德原理。

愚公的思想还蕴涵了 n→+∞ 的极限含义。

来源:数学经纬网

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