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讨论由方程为 √|x|+√|y|= r 的曲线围成的“星形”的几何性质(含周长和面积)

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发表于 2021-3-4 12:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-3-5 08:03 编辑

定义:在平面内,称到互相垂直的两条直线的距离的算术平方根的和是常数(大于零)的点的轨迹为“星形”,

其中,常数的平方称为星形”的长半轴的长。

(1)建立“星形”的标准方程;

(2)用类似讨论有关二次曲线的方法,讨论“星形”的几何性质(含周长和面积)。
发表于 2021-3-4 23:05 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-3-5 16:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-3-5 16:44 编辑

1,方程√|x|+√|y|=r(r>0)的曲线很优美。这是中心在原点的标准方程。中心为(a,b)标准方程是

√|x-a|+√|y-b|=r(r>0)。

2,曲线√|x|+√|y|=r(r>0)的基本性质(除lu教授给出的周长和面积外):

(1)曲线既是中心对称图形又是轴对称图形。对称中心是原点,四条对称轴是直线xy=0和y=±x。

(2)4个“外”顶点是(±r^2,0),(0,±r^2);4个“内”顶点是(±r^2/4,±r^2/4)。

(3)两条长轴长相等,且长为2r^2;两条短轴长相等,且长为2r^2/(2√2)。

(4)它的外接圆和内切圆分别是x^2+y^2=r^4,x^2+y^2=r^4/8。

(5)它的内接四边形最大的是正方形,最大面积是r^4/4。
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发表于 2021-3-5 22:38 | 显示全部楼层
特例

求曲线√x+√y=1的弧长,用参数方程怎么求?
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 4&fromuid=80637
(出处: 数学中国)
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