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已知 A(2,0),B(-1,0) ,P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点,求 PA+PB-OP 的最小值

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发表于 2021-3-3 18:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

没思路了

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发表于 2021-3-3 22:23 | 显示全部楼层


图中所画 P 点的位置,正是最小值所在的地方。

代数式列出来了,如何人工求出其最小值,还没有想出来。

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P 点坐标应该是 (x,3√3 x)。  发表于 2021-3-4 00:51
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发表于 2021-3-4 00:48 | 显示全部楼层


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发表于 2021-3-4 11:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-3-4 11:21 编辑

题:已知 A(2,0),B(-1,0) ,P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点,求 PA+PB-OP 的最小值 。

思路:令PA=x,PO=z,PB=y,则由条件和余弦定理有x^2=z^2+4-4zcos∠AOP,

y^2=z^2+1-2zcos∠AOP。由此有x^2+2y^2=3z^2+6。令x+y-z=r(∠AOP是钝角,r>0),

则x^2+2y^2=3(x+y-r)^2+6。将此式整理得y^2+6(x-r)y+2x^2-6rx+3r^2+6=0。

所以判别式36(x-r)^2-4(2x^2-6rx+3r^2+6)≥0,即7x^2-12rx+6r^2-6≥0。

所以,此不等式的判别式144r^2-7×24(r^2-1)≤0。解得r≥√7。故 PA+PB-OP≥√7。

点评

前一个判别式大于零是因为 y 必须是实数吧?后一个判别式为何要小于零?  发表于 2021-3-4 14:09
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发表于 2021-3-4 11:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-3-4 11:28 编辑
天山草@ 发表于 2021-3-3 22:23
图中所画 P 点的位置,正是最小值所在的地方。

代数式列出来了,如何人工求出其最小值,还没有想出 ...


噢,我把 3√3  看成了 3/√3。

如果题目改成  y=3/√3 * x=√3 * x,有没有几何方法做这个题呢?  
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发表于 2021-3-4 11:30 | 显示全部楼层
把直线 y=3√3x 换成直线 y=kx (k>0)也可得出同样的结论。
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发表于 2021-3-4 12:39 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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 楼主| 发表于 2021-3-4 15:28 | 显示全部楼层
天山草@ 发表于 2021-3-3 22:23
图中所画 P 点的位置,正是最小值所在的地方。

代数式列出来了,如何人工求出其最小值,还没有想出 ...

谢谢大神,辛苦了
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 楼主| 发表于 2021-3-4 15:29 | 显示全部楼层

谢谢大神,辛苦了
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 楼主| 发表于 2021-3-4 15:29 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-3-4 11:19
题:已知 A(2,0),B(-1,0) ,P 是直线 y=3√3x 上第三象限中的一点,求 PA+PB-OP 的最小值 。

思路:令PA ...

谢谢大神,辛苦了
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