数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 221|回复: 9

已知 3/x+2/y=1/7 ,求 x,y 的整数解的简单解法

[复制链接]
发表于 2021-3-3 10:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
中学生问题:3/x+2/y=1/7,求x,y,的整数解的简单解法
发表于 2021-3-3 11:30 | 显示全部楼层
变为
(x-21)*(y-14)
=1*249
=2*147
=3*97
=6*49
=7*42
=……
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-3 12:22 | 显示全部楼层
公式可变形为y=14x/(x-21),因为y为整数,所以14/(x-21)为整数,或x/(x-21)为整数
①若14/(x-21)为整数,则x-21={-14,-7,-2,-1,1,2,7,14}
对应x={7,14, 19, 20,22,23,28,35}
对应y={-7,-28,-133,-280,308,161,56,35}
②若x/(x-21)为整数m,即x/(x-21)=m,变形得x=21m/(m-1),m/(m-1)为整数或21/(m-1)为整数。
对于整数m,除m=2和m=0外,m/(m-1)均非整数;当m=2时,x=42, y=28;当m=0时,x=y=0不符合题意,舍去。
若21/(m-1)为整数,则m-1={-21, -7,-3,-1, 1,3,7,21}
对应m={-20,-6,-2,0,2,4,8,22}
对应x={-1,-3,-7,-21,21,7,3,1}
对应y={0.636363636,1.75,3.5,7,#DIV/0!,-7,-2.333333333,-0.7}
其中x,y均为整数的解为x=-21,y=7和,x=7和y=-7
综上,全部整数解为:
x=7, y=-7
x=14, y=-28
x=19, y=-133
x=20, y=-280
x=22, y=308
x=23, y=161
x=28, y=56
x=35, y=35
x=42, y=28
x=-21, y=7
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-3 15:37 | 显示全部楼层
抱歉,3楼回复欠周,好像漏了好多解,比如:
x=-21,y=7
x=-77,y=11
x=-273,y=13
x=315,y=15
x=119,y=17
x=63,y=21
不知道还有没有
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-3 16:33 | 显示全部楼层


本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-3-3 17:25 | 显示全部楼层
陆老师的解是最全,收了。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-4 08:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-3-4 09:53 编辑

谢谢xfhaoym!不错的题目(信息蛮多的)!看似简单的题目,解法可是不简单的。
晒一晒我的笨方法(撞到好玩的事情,不管会还是不会,你都会去动手)。基本思路:
\(题目可看作是\frac{3}{x}-\frac{1}{7}或\frac{2}{y}-\frac{1}{7},总会有被减数>\frac{1}{7}\)
\(题目可看作是\frac{1}{7}-\frac{3}{x}或\frac{1}{7}-\frac{2}{y},总会有减数>\frac{1}{14}\)

\(1,\frac{3}{x}-\frac{1}{7}:x可以是\ 1—21;\frac{1}{7}-\frac{3}{x}:x可以是\ 22—42\)
\(\frac{3}{1}-\frac{1}{7}=\frac{20}{1×7}\)
\(\frac{3}{2}-\frac{1}{7}=\frac{19}{2×7}\)
\(\frac{3}{3}-\frac{1}{7}=\frac{18}{3×7}\)
\(\frac{3}{4}-\frac{1}{7}=\frac{17}{4×7}\)
\(\frac{3}{5}-\frac{1}{7}=\frac{16}{5×7}\)
\(\frac{3}{6}-\frac{1}{7}=\frac{15}{6×7}\)
\(\frac{3}{7}-\frac{1}{7}=\frac{14}{7×7}=\frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{8}-\frac{1}{7}=\frac{13}{8×7}\)
\(\frac{3}{9}-\frac{1}{7}=\frac{12}{9×7}\)
\(\frac{3}{10}-\frac{1}{7}=\frac{11}{10×7}\)
\(\frac{3}{11}-\frac{1}{7}=\frac{10}{11×7}\)
\(\frac{3}{12}-\frac{1}{7}=\frac{9}{12×7}\)
\(\frac{3}{13}-\frac{1}{7}=\frac{8}{13×7}\)
\(\frac{3}{14}-\frac{1}{7}=\frac{7}{14×7}=\frac{2}{28}\)
\(\frac{3}{15}-\frac{1}{7}=\frac{6}{15×7}=\frac{2}{35}\)
\(\frac{3}{16}-\frac{1}{7}=\frac{5}{16×7}\)
\(\frac{3}{17}-\frac{1}{7}=\frac{4}{17×7}\)
\(\frac{3}{18}-\frac{1}{7}=\frac{3}{18×7}=\frac{2}{84}\)
\(\frac{3}{19}-\frac{1}{7}=\frac{2}{19×7}=\frac{2}{133}\)
\(\frac{3}{20}-\frac{1}{7}=\frac{1}{20×7}=\frac{2}{280}\)
\(\frac{3}{21}-\frac{1}{7}=\frac{0}{21×7}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{22}=\frac{1}{7×22}=\frac{2}{308}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{23}=\frac{2}{7×23}=\frac{2}{161}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{24}=\frac{3}{7×24}=\frac{2}{112}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{25}=\frac{4}{7×25}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{26}=\frac{5}{7×26}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{27}=\frac{6}{7×27}=\frac{2}{63}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{28}=\frac{7}{7×28}=\frac{2}{56}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{29}=\frac{8}{7×29}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{30}=\frac{9}{7×30}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{31}=\frac{10}{7×31}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{32}=\frac{11}{7×32}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{33}=\frac{12}{7×33}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{34}=\frac{13}{7×34}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{35}=\frac{14}{7×35}=\frac{2}{35}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{36}=\frac{15}{7×36}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{37}=\frac{16}{7×37}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{38}=\frac{17}{7×38}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{39}=\frac{18}{7×39}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{40}=\frac{19}{7×40}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{41}=\frac{20}{7×41}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{3}{42}=\frac{21}{7×42}=\frac{2}{28}\)

\(2,\frac{2}{y}-\frac{1}{7}:y可以是\ 1—14;\frac{1}{7}-\frac{2}{y}:y可以是\ 15—28\)
\(\frac{2}{1}-\frac{1}{7}=\frac{13}{1×7}\)
\(\frac{2}{2}-\frac{1}{7}=\frac{12}{2×7}\)
\(\frac{2}{3}-\frac{1}{7}=\frac{11}{3×7}\)
\(\frac{2}{4}-\frac{1}{7}=\frac{10}{4×7}\)
\(\frac{2}{5}-\frac{1}{7}=\frac{9}{5×7}\)
\(\frac{2}{6}-\frac{1}{7}=\frac{8}{6×7}\)
\(\frac{2}{7}-\frac{1}{7}=\frac{7}{7×7}=\frac{3}{21}\)
\(\frac{2}{8}-\frac{1}{7}=\frac{6}{8×7}=\frac{3}{28}\)
\(\frac{2}{9}-\frac{1}{7}=\frac{5}{9×7}\)
\(\frac{2}{10}-\frac{1}{7}=\frac{4}{10×7}\)
\(\frac{2}{11}-\frac{1}{7}=\frac{3}{11×7}=\frac{3}{77}\)
\(\frac{2}{12}-\frac{1}{7}=\frac{2}{12×7}=\frac{3}{126}\)
\(\frac{2}{13}-\frac{1}{7}=\frac{1}{13×7}=\frac{3}{273}\)
\(\frac{2}{14}-\frac{1}{7}=\frac{0}{14×7}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{15}=\frac{1}{7×15}=\frac{3}{315}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{16}=\frac{2}{7×16}=\frac{3}{168}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{17}=\frac{3}{7×17}=\frac{3}{119}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{18}=\frac{4}{7×18}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{19}=\frac{5}{7×19}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{20}=\frac{6}{7×20}=\frac{3}{70}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{21}=\frac{7}{7×21}=\frac{3}{63}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{22}=\frac{8}{7×22}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{23}=\frac{9}{7×23}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{24}=\frac{10}{7×24}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{25}=\frac{11}{7×25}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{26}=\frac{12}{7×26}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{27}=\frac{13}{7×27}\)
\(\frac{1}{7}-\frac{2}{28}=\frac{14}{7×28}=\frac{3}{42}(同)\)
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-3-4 10:19 | 显示全部楼层
我是这们解的(不再详解):

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-4 12:17 | 显示全部楼层
xfhaoym 发表于 2021-3-4 10:19
我是这们解的(不再详解):

能再举个栗子吗?谢谢!
已知 3/x+2/y=1/8 ,求 x,y 的整数解的简单解法
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-3-4 17:39 | 显示全部楼层
本来是求正整数解,当发贴时少了个“正”字。

1.如陆老师的解法,写成:(x-24)(y-16)=384
2.写在我的做法:x=24+384/(y-16)
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2021-4-17 21:46 , Processed in 0.078125 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表