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正方形 ABCD 边长为 5,E,F 分别在 AB,AD 上,EF=4,sin∠ECF=3/5 ,求 ΔECF 的面积

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发表于 2021-3-2 22:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問幾何

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 楼主| 发表于 2021-3-3 00:15 | 显示全部楼层
圖沒截好

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发表于 2021-3-3 09:39 | 显示全部楼层
提供解题思路,时间仓促,太烦了,可能计算有误。

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发表于 2021-3-3 13:22 | 显示全部楼层
刚才午休再仔细看了下题目,正方形边长是5,不是4。要改一下了。
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发表于 2021-3-3 17:29 | 显示全部楼层
改了一下。

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謝謝老師  发表于 2021-3-3 22:13
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发表于 2021-3-3 18:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-3-4 08:09 编辑

题:正方形ABCD边长为5,E,F分别在AB,AD上,EF=4,sin∠ECF=3/5,求ΔECF的面积。

思路:1,设∠ECF=θ,∠ECB=α,∠DCF=β,BE=5x,DF=5y。

2,由条件有cotθ=4/3,tanα=x,tanβ=y。

3,SΔECF=25-25(x+y)/2-25(1-x)(1-y)/2=25(1-xy)/2。

4,在RtΔEAF中,有25(1-x)^2+25(1-y)^2=16,即25(x+y)^2-50(x+y)-50xy=-34。(1)

5,tan(α+β)=tan(π/2-θ)=cotθ=4/3,即(x+y)/(1-xy)=4/3,或x+y=4(1-xy)/3。(2)

6,(2)代入(1)消去x+y得,400(1-xy)^2/9-200(1-xy)/3-50xy=-34,

即200(1-xy)^2-75(1-xy)-72=0,解得1-xy=(75+15√281)/400。

7,SΔECF=25(1-xy)/2=(75+15√281)/32。

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謝謝老師  发表于 2021-3-3 22:13
101 南二  发表于 2021-3-3 19:32
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发表于 2021-3-5 15:33 | 显示全部楼层
5搂:代错一个数据EC^2=16+(4-x)^2,应为EC^2=16+(5-x)^2。

按5楼的思路,也得到SΔECF=(75+15√281)/32。
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发表于 2021-3-5 16:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-3-5 16:25 编辑

\(s=5^2 - \frac{5 (5 - x)}{2} -\frac{5 (5 -\sqrt{4^2 - x^2})}{2} -\frac{ x \sqrt{4^2 - x^2}}{2}\)
\(=\sqrt{5^2 + (5 - x)^2}*\sqrt{5^2 + (5 - \sqrt{4^2 - x^2})^2}*\frac{3}{5}*\frac{1}{2}\)
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发表于 2021-3-5 17:03 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-3-5 15:33
5搂:代错一个数据EC^2=16+(4-x)^2,应为EC^2=16+(5-x)^2。

按5楼的思路,也得到SΔECF=(75+15 ...

谢谢老师指正。经常犯老毛病。
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