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证明方程 2^x=x^2+1 有无理数解

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发表于 2021-3-2 00:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明方程2^x=x^2+1有无理数解。
发表于 2021-3-2 05:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 wangyangke 于 2021-3-4 13:13 编辑

x=0是一个根;此外

证    x无有理解; 设x为有理数分数,则方程的左侧、右侧分别是无理数、有理数,方程不成立。由是,假设错误。
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发表于 2021-3-2 20:50 | 显示全部楼层
各位高手多多指教。

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 楼主| 发表于 2021-3-4 17:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-3-4 17:13 编辑

证明方程2^x=x^2+1有无理数解。

证:因2^4<4^2+1,2^5>5^2+1,所以方程2^x=x^2+1在区间(4,5)内必有实数解。

假设实数解为有理数,设其为q/p,且q与p互素,4<q/p<5,则2^(q/p)=(q/p)^2+1,

即p^2(2^q)^(1/p)=p^2+q^2。令q=4p+r(0<r<p),则p^2[2^(4p+r)]^(1/p)=p^2+q^2,

或16p^2.(2^r)(1/p)=p^2+q^2,即(2^r)(1/p)=(p^2+q^2)/(16p^2),其中0<r<p。

显然,左右两边分别是无理数和有理数。矛盾。故方程2^x=x^2+1有无理数解。

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发表于 2021-3-4 21:00 | 显示全部楼层
楼上 各位 的解答很好!已收藏。
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