数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 2140|回复: 10

证明方程 2^x=x^2+1 有无理数解

[复制链接]
发表于 2021-3-2 00:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明方程2^x=x^2+1有无理数解。
发表于 2021-3-2 05:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 wangyangke 于 2021-3-4 13:13 编辑

x=0是一个根;此外

证    x无有理解; 设x为有理数分数,则方程的左侧、右侧分别是无理数、有理数,方程不成立。由是,假设错误。

点评

羊头是屎,出来臭人就不对了。  发表于 2022-6-6 11:17
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-2 20:50 | 显示全部楼层
各位高手多多指教。

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-3-4 17:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-5-18 11:58 编辑

证明方程2^x=x^2+1有无理数解。

证:因2^4<4^2+1,2^5>5^2+1,所以方程2^x=x^2+1在区间(4,5)内必有实数解。

假设实数解为有理数,设其为q/p,且q与p互素,4<q/p<5,则2^(q/p)=(q/p)^2+1,

即p^2(2^q)^(1/p)=p^2+q^2。令q=4p+r(0<r<p),则p^2[2^(4p+r)]^(1/p)=p^2+q^2,

或16p^2.(2^r)^(1/p)=p^2+q^2,即(2^r)^(1/p)=(p^2+q^2)/(16p^2),其中0<r<p。

显然,左右两边分别是无理数和有理数。矛盾。故方程2^x=x^2+1有无理数解。

点评

这样的指数方程有求解公式……  发表于 2022-6-6 08:19
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-3-4 21:00 | 显示全部楼层
楼上 各位 的解答很好!已收藏。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-5-18 10:11 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-6-3 18:27 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2022-6-6 08:18 | 显示全部楼层
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2024-3-28 20:58 , Processed in 0.083008 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表