方程为 x^(2n)+y^(2n)=1 的曲线所围成图形的面积最大值是多少？

liangchuxu · 发表于 2021-2-28 15:28

根据定积分中值定理，不知可行否？请陆老师即各位高手指教。

luyuanhong · 发表于 2021-2-28 18:04

永远 · 发表于 2021-2-28 23:45

本帖最后由永远于 2021-3-1 22:31 编辑

楼上网友“liangchuxu”把题目所求积分被积分函数写了几楼都写错了，很难想象他是怎么把结果做对的

\(\boxed{\displaystyle S = 4\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\sqrt[{2n}]{{1 - {x^{2n}}}}} dx\;\;\;n \in {N^ * }}\)

liangchuxu · 发表于 2021-3-1 05:13

luyuanhong 发表于 2021-2-28 18:04

谢谢陆老师指导，让我学到了新知识。

luyuanhong · 发表于 2021-3-1 08:11

liangchuxu · 发表于 2021-3-1 09:58

请陆老师与各位指教。

永远 · 发表于 2021-3-1 22:33

本帖最后由永远于 2021-3-1 23:17 编辑

luyuanhong 发表于 2021-3-1 08:11

陆老师好，对这个积分的被积函数采用广义二项式定理展开怎么做？？？？

\(\boxed{\displaystyle S = 4\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\sqrt[{2n}]{{1 - {x^{2n}}}}} dx\;\;\;n \in {N^ * }}\)

波斯猫猫 · 发表于 2021-3-2 21:12

本帖最后由波斯猫猫于 2021-3-2 21:15 编辑

在方程｜ x｜^n+｜y｜^n=1（n∈N+）中，当n→∞时，所围成图形的最大面积仍为4。
根据已经证明了的费尔马大定理，当n≥3时，除点（±1,0）和点（0，±1）外，曲线｜ x｜^n+｜y｜^n=1（n∈N+）上再没有有理点。

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