方程为 x^(2n)+y^(2n)=1 的曲线所围成图形的面积最大值是多少？

波斯猫猫 · 发表于 2021-2-26 21:35

对不同的正自然数n，曲线簇x＾2n+y＾2n=1所围成图形的面积组成一个数列S1，S2，S3，...，Sn，...。其中是否存在最大面积？如果存在，最大面积是多少？如果不存在，为什么？

luyuanhong · 发表于 2021-2-27 00:16

波斯猫猫 · 发表于 2021-2-27 12:05

本帖最后由波斯猫猫于 2021-2-27 12:14 编辑

另一思路：方程x＾2n+y＾2n=1显然关于原点和坐标轴既成中心对称图形又成轴对称图形，故只需考虑在第一

象限的情形即可。设第一象限的点A（a，b）在x＾2n+y＾2n=1上，即有a＾2n+b＾2n=1。则以a和b为边的

矩形的面积S=ab。令a＾n=cosθ，b＾n=sinθ（0≤θ≤π/2），则S＾2n=（sin2θ）＾2/4≤1/4（当θ=π/4时

取等号），即S＾n≤1/2或S≤（1/2）＾（1/n）。又当n→+∞时，有（1/2）＾（1/n）=1，故S≤1。也就是

说，当n→+∞时，曲线在第一象限与坐标轴围成图形的最大面积是1。由对称性可知，曲线x＾2n+y＾2n=1围

成图形的最大面积为4S=4。

永远 · 发表于 2021-2-27 12:37

如果用定积分求面积在取个极限，具体怎么分析，谁会？？？？

liangchuxu · 发表于 2021-2-27 19:00

定积分求面积。

liangchuxu · 发表于 2021-2-28 01:43

一时疏忽，前面解答将积分公式搞错了。更正一下。

liangchuxu · 发表于 2021-2-28 06:05

抱歉，看错了，我以为是y=x^2，后来再看题，是y^2----圆。

永远 · 发表于 2021-2-28 07:48

liangchuxu 发表于 2021-2-28 06:05
抱歉，看错了，我以为是y=x^2，后来再看题，是y^2----圆。

是： x^(2n)+y^(2n)=1 ，得y=(1-x^(2n))^(1/2n)

永远 · 发表于 2021-2-28 09:48

请问8楼，求助于陆老师

永远 · 发表于 2021-2-28 12:32

luyuanhong 发表于 2021-2-27 00:16

请问8楼，求助于陆老师

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方程为 x^(2n)+y^(2n)=1 的曲线所围成图形的面积最大值是多少？

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