所有自然数之和是 -1/12？它在物理学中还有特别的应用？丨众妙之门

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所有自然数之和是 -1/12？它在物理学中还有特别的应用？丨众妙之门

前段时间收到一位热心读者的邮件。信中提到，如果认定 1-1+1-1……=1/2 为事实，就会得出 1+2+3+……=-1/12 这样难以令人理解的结论。这位读者所提及的自然数求和问题，恰巧在量子理论和弦理论中都起到颇为重要的作用。从真空的能量，到时空的维度数量，都与自然数之和有着微妙的联系。在这个小小的数学魔术里面，甚至还隐含着时空不连续的秘密。

撰文 | 董唯元

数学老师曾告诉我们，只有收敛的级数才能求解无穷项之和，然而在一些科普书中，却会遇到一个神奇的求和：

所有自然数之和怎么会是负数，而且还是个分数？这到底是人性的扭曲，还是道德的沦丧？

把对称轴当作级数和

想要理解这个古怪的结论，我们先来看一个简单的例子：1, -1, 1, -1, ……这个序列可以求无穷项之和吗？意大利数学家格兰迪（Dom Guido Grandi，1671-1742）早在1703年就开始认真琢磨这个问题，可以说，这是所有发散级数求和研究的起点，这个序列后来就被命名为“格兰迪级数”。


意大利数学家格兰迪丨图源：维基百科

也许有小伙伴猜测，这个序列中1和-1的数量既然同样多，那么总和就应该等于0。可惜这样的猜测是错误的。无穷集就像个再生能力很强的变形虫，部分与整体同样多。我们从序列中拿走任意个1或者-1之后，剩下的1和-1数量仍然相同。如果所剩下的1和-1加和为零的话，那么岂不是总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数。这显然太不靠谱了，看来压根不能依靠比较1和-1的数量来求和。

还有个办法，就是借助收敛的级数寻找线索。我们知道，在|q|<1时，



现在我们粗暴地让q=-1，于是就出现了



这个结果似乎还能令人接受，可是，q=-1毕竟是个“不合法”的条件，我们需要更合理的途径来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项和记做A(n)，我们现在动手来求 A(∞)。



哈！根据这个等式，我们又一次得到了 A(∞)=1/2 的结果。这回貌似没有明显违法的地方了，警察来了也不怕。可是，总还是感觉哪里不对。

A(1)=1
A(2)=1-1=0
A(3)=1-1+1=1
…

可以看出A(n)在1和0之间来回跳动，按照极限的定义，图片 这个极限不存在。当我们写下A(∞)这个符号时，它究竟指代什么，还没有清楚的定义。其实这也是发散级数求和的基础问题：如何定义发散级数的和。

相关的定义不止一种。大体来说，主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类，另外拉马努金和黎曼等人也发展出许多更一般性的理论，中间还掺有源自欧拉的诸多贡献。那些数学语言虽严格，但催眠和劝退的副作用也不小，所以本文不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义，只使用非常“物理”的视角来定义： A(∞)表示所有 A(n)的平均值。



以“平均值”定义的求和方式，使许多发散级数都可以进行求和。例如

1-2+3-4…

这个级数，也可以用同样的方法直接用眼睛瞪出结果。我们用B(n)表示前n项和，即 B(n)=∑(k=0,n)k(-1)^(k+1)，那么

B(0)=0
B(1)=1
B(2)=1-2=-1
B(3)=1-2+3=2
…

把这些B(n)所对应的点画在图上之后，完全不需要动笔计算，用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。



如果只看图还不放心，我们也可以借助前面 A(∞)=1/2 的结论来推算 B(∞)：



稍微调整等式右边的计算顺序，先让前面括号内第n项减去后面括号内第n项，然后再做加和。



即
A(∞)-B(∞)=B(∞)

所以
B(∞)=1/2A(∞)=1/4

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把自然数之和变成 -1/12 的魔术

当然，画出点来再用眼睛直接瞪出结果的方法，有时候也需要一些技巧。就以全体自然数之和为例，我们同样地令C(n)代表前n项和



麻烦出现了！显然C(n)对应的点都分布在一根上扬的抛物线上，没办法直接看出平均值，而且看起来压根就不存在有限的平均值！别急，我们可以继续变形。



这样我们就把每个C(n)对应的点，都拆成上式中绿色项和紫色项所对应的两个“半点”分别画出来，居然又可以凑成两条对称的曲线。



当我们把无限个“半点”都辛苦画完之后。就可以指着两根曲线中间的对称轴宣布：



因为所有C(n)的平均值就等于所有“半点”的平均值，而两根曲线上的“半点”分布完全对称，只在绿色曲线的开头位置差了一个无关紧要的0。



除了看图猜值，我们也可以借助刚才的 B(∞)=1/4 那个结果，再来计算一遍 C(∞)。



调整顺序后


于是得到


所以


其实，能够得到 -1/12 这个结果的途径还有许多。例如神奇的Zeta函数



这个以复数s为变量的函数，因著名的黎曼猜想及其与数论的紧密联系而被反复研究。数学家们可以写出这个函数的许多种变化形式，其中一种解析延拓到全部复平面的形式是


用这个形式也可以计算出


既然经过这么多五花八门的方式，都殊途同归到 -1/12 这个结果，我们是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 这个式子堂而皇之地写进中学课本中呢？相信许多人会跟我一样，对此仍惶恐不安。因为在前述所有推演过程中，都埋藏着一个颇为隐蔽的问题，那就是等号的意义。将

或

直接写成

似乎理所当然，但其实两个式子中，前面的“=”代表的是“定义为”，而不是量值相等。所以，更清楚的写法应该是

和


这样就能看出，-1/12 这个数值，并不像1+1=2那样自然天成理所应当，而是需要事先假定“全体自然数之和是一个确定的数”，然后再精心挑选出一个逻辑自洽性最好的数值，指定其为全体自然数之和。只不过当逻辑自洽性和直觉发生明显冲突的时候，我们都会感觉惊诧，这在数学发展的道路上已经不是什么新鲜事了。

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伸向无穷大的剪刀

前面的讨论中，我们直接无视了数学极限概念，粗暴地使用平均值当做发散级数的和。现在让我们重新捡起极限概念，从另一个角度看看-1/12是怎么跑出来的。

对 C(n) 这个发散级数，我们可以引入某个剪刀函数 f(x) 来压制那些趋向无穷大的项，从而使发散的趋势在某个特定的位置N附近停下来，并最终收敛到某个极限S(N)。这样我们就用标准的极限概念构造出一个S(N)，当N有限时，S(N)是个有限值，而当N趋于无穷大时，S(N)就对应着全体自然数之和。



可以充当剪刀的函数有许多，比如我们取 f(x)=e^(-x^2)，此时



通过数值计算，我们发现S(N)随着N的增加而奔向正无穷。这倒是符合我们先前的直觉了，可是说好的-1/12呢？别急，我们再把S(N)用1/N展开看看。我们发现S(N)在大N的数值结果，可以被下面的展开式很好的拟合



哈！居然又看到了这个-1/12，它是S(N)展开式中的常数项。也就是说，在S(N)中与N的变化无关的成分，就是-1/12。当N足够大时，那些含1/N的项都可以忽略，S(N)可以被看做一根最低点在-1/12处的抛物线。



我们再取剪刀函数  f(x)=e^(-x) 试试。此时



这个求和可以严格计算出来。我们先对下面的等式两边求β的导数



可以得到



同样在大N条件下做1/N展开，就得到



取β=1就得到



同样也出现了常数项-1/12，而且也是根下垂到-1/12处的抛物线



如果 f(x) 直接取为跳变函数，也就是在 n=N 处突然截断，那么



就不会有-1/12这个常数项。

看起来，除了跳变函数的突然截断，其他平滑的截断方式都能得到 O(N^2)-1/12  这个有趣的结果。这似乎是告诉我们，全体自然数之和即使注定无法摆脱走向无穷大的宿命，却出于某种神秘的理由一直对 -1/12 情有独衷。亦或可以说， O(N^2) 发散项只是平庸无奇的底色，而 -1/12 才是刻写在底色上的性格内核。

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真空的能量

站在实用的视角来说，我们有时候需要像使用收敛级数一样处理自然数之和，所以就不得不找到某个确定的“缰绳”来驾驭。比如在研究真空能量的时候，物理学家就遇到了全体自然数之和，而且非常希望这个和是个确定的数。

在量子场论的理论模型中，真空就像一张立体弹簧网，由无数小弹簧横纵交织而成。而所谓粒子，就是其中某些小弹簧的振动足够剧烈，以至于远远望去以为弹簧网中出现了什么异物似的，但只要凑到近处就会看出，那里除了振动本身别无他物。也就是说，粒子本质上就是真空的振动。因此，当能量变化时，粒子的数量不必受任何守恒律的约束，可以凭空增加或者减少。不过，粒子能否产生或消失却与小弹簧的振动频率有关。在振动频率为ω时，粒子数n与场的能量E之间存在这样的关系：



从关系式可以看出，真空每攒够一份hω大小的能量，就会产生出一个粒子；反之每减少一份就会擦除一个粒子。或者干脆说，每个粒子其实就是个hω大小的能量包。有趣的是n=0时，它对应着真空里没有粒子的情况，此时能量是1/2hω。也就是说，当真空的能量低到不能再低的时候，能量仍然不是0，这就是真空零点能。下面我们来具体计算一个有限空间内的真空能量，看看它与全体自然数求和到底是什么关系。



我们知道，两端固定的弹簧上只能存在驻波，即波长的整数倍恰好等于两端距离的波，因为只有这种波在来回反射过程中可以维持能量，其他形式的波都会自我消减。导体对于电磁场也有一模一样的作用。在距离为L的两块金属板之间，只能存在波长恰好为 λn=L/n 的电磁波，其中n是正整数。每个这样的电磁波频率为



将所有频率的零点能累加起来，真空中总能量就是



瞧，自然数之和 ∑(n=1,∞)n 就这样出现了，现在你应该能够理解，物理学家们是多么希望 ∑(n=1,∞)n 是个确定数值了吧。更有意思的是，如果姑且憨憨地认为自然数之和就是 -1/12 的话，我们甚至可以设计一个物理实验来验证这个结论。

如下图这样放置三块相互平行的金属板，使甲乙之间距离为a，乙丙之间距离为b。



根据刚才的结论，我们知道甲乙之间的真空能量是



乙丙之间的真空能量是



现在我们想知道，当a＜b时，中间位置的金属板乙会受到哪个方向的力。根据能量对位置的偏导可以求解受力情况。结果发现：如果 ∑(n=1,∞)n>0 的话，金属板乙会受到一个向右的力；反之则受到向左的力。

其实，实验装置还可以进一步简化，我们可以把最右边的丙拿到无穷远处，只留下甲和乙，然后测量甲乙之间是吸引还是排斥，如果相互排斥，就说明  ∑(n=1,∞)n>0，反之则说明 ∑(n=1,∞)n<0 。

这个实验设想最早由荷兰物理学家卡西米尔（Hendrik Casimir，1909-2000）在1948年提出，当然提出实验的目的才不是测量自然数之和，而是为了验证真空零点能的存在。事实上，卡西米尔当年在提出这个实验的时候，就已经预言两金属板之间相互吸引，也就是对应 ∑(n=1,∞)n<0 的情况，因为他的理论推算过程已然采用了解析延拓后的黎曼Zeta函数。1996年，华盛顿大学的Lamoreaux用实验证实了卡西米尔效应的存在，论文发表在1997年1月的《物理评论快报》（PRL）上。



需要澄清的是，卡西米尔效应的实验证实，只能说明真空零点能的存在，但是并不能真的用来验证数学意义上的所有自然数之和。其实，现实中的金属板只能阻拦有限频率范围内的电磁波，当频率大过某个数值时，金属板就无法阻拦这种极高频率的波。所以从更精确的角度计算卡西米尔效应时，需要考虑这种高频截断。不过具体计算会用到欧拉-麦克劳林公式和伯努利数这些催眠的内容，本文就不再涉及了。

下面我们转到弦理论，看看所有自然数之和是如何与维度的数量产生关系的。

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时空的纬度

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离散的时空




显然，呈正比的那部分能量，在乙板左右产生的作用力始终相互抵消，只有第二部分呈反比的能量，才对乙板产生了作用力。由此可见，卡西米尔效应是在两个巨大的首项恰好相互抵消之后，在第二项上显现出的效应，所以这种力异常微弱，只有把两个面积达平方米量级的金属板靠近到微米距离时，才能产生可供测量的吸引力。

现在我们才算真正解释了卡西米尔效应与自然数之和的关系，如果未来再遇到有民科企图用这个实验来证明自然数之和是个负数，尽可以毫不犹豫地送他一个白眼。