证明0.999...不是个实数

zhangyu1986

样子上看0.99...是属于无限循环小数。
而无限循环小数的来源是用小数这种实数形式来表示分数，无限循环小数的定义里有一条，无限循环小数可以化做分数（百度百科，无限循环小数的定义）。
0.11...=1/9  
0.22...=2/9
...
0.0101...=1/99
还是有规律的 即分子是循环数，分母是循环位数对应位数的9。
其他可化做x+y/(对应位数9）不做阐述。

唯独0.99..没有对应的分数。

所以至少0.99...不是无限循环小数。

有理数是整数与分数的合集，所以它也不是有理数。

来看看无理数定义，将一个无理数用小数这种实数形式表现出来的话，就是无限不循环小数，也就是说无理数写成无限小数的时候，该小数的小数点后的部位所包含的数字个数是不可数的、无限多的，并且也不会有数字循环现象的产生。（百度百科）

注意数字循环现象，显然0.99...也不是无理数。

所以它也不是个实数。

证明完毕

最后我想问下edim 0.99...=  那个合集 =1, 同样方式0.88...最后等于啥

但还是有疑虑，现行“无限循环小数”不能完美等于分数。举例：1/9=0.11...+∞位上的余量（永不除尽原则）。最后总结，无限循环小数应重新定义，踢出现行分数、有理数、实数范畴。

elim

在现行实数理论中，\(s_n=1+r+\cdots+r^{n-1}\implies rs_n=r+\cdots+r^n\)
\(\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\) 当\(\,r\ne 1\) 时\(\,s_n=\large\frac{1-r^n}{1-r}\)
当\(\,|r|<1\) 时\(\,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}r^{k-1}=\lim_{n\to\infty}s_n=\frac{1}{1-r}.\)
\((\forall\varepsilon>0\,\forall n>\lceil \varepsilon^{-1}\rceil:\, |10^{-n}-0|< n^{-1}<\varepsilon.\;\therefore\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0)\)
取\(\,r=\large\frac{1}{10}\) 得\(0.999... = {\large\frac{9}{10}}(1+{\large\frac{1}{10^1}}+{\large\frac{1}{10^2}}+\cdots)={\large\frac{9}{10}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}}=1\)

\(0.999.....\) 在标准分析中是实数\(1\) 的无尽小数表示。

zhangyu1986

elim 发表于 2021-2-20 11:27
在现行实数理论中，\(s_n=1+r+\cdots+r^{n-1}\implies rs_n=r+\cdots+r^n\)
\(\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\ ...

那0.88..怎么计算

zhangyu1986

elim 发表于 2021-2-20 11:27
在现行实数理论中，\(s_n=1+r+\cdots+r^{n-1}\implies rs_n=r+\cdots+r^n\)
\(\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\ ...

最后你也说的是一种表示，没说它是数吧

elim

zhangyu1986 发表于 2021-2-19 20:32
最后你也说的是一种表示，没说它是数吧

是标线为无穷和形式的数。

zhangyu1986

让你说个对 好难啊，总之我们知道它是个数，但不是个实数吧。它就是个函数。

elim

级数和是一个极限，在标准分析中，极限是一个实数．

jzkyllcjl

n→∞，但n不能等于∞。变数性质的无穷数列的极限值具有数列达不到的性质。
，使用施笃兹公式之前，需要尊重菲赫金哥尔茨《微积分学教程》中译本一卷一分册59页的定理证明之前说的"为着确定∞/∞型的不定式X(n)/Y(n ) 的极限的条件，在使用这个公式之前。必须 证明X(n)/Y(n )的分子分母的极限都是∞ 。否则就会出错误。elim的认识与他的计算结果是错误的。

elim

吃狗屎的 jzkyllcjl 啼猿声啼到这里来了，呵呵。

zhangyu1986

elim 发表于 2021-2-20 12:33
级数和是一个极限，在标准分析中，极限是一个实数．

你说法有误，当此极限为0的时候，也就是无穷小量，在你所谓标准分析中 明确规定它不是一个实数。