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本帖最后由 elim 于 2021-2-20 08:04 编辑
在现行实数理论中,\(s_n=1+r+\cdots+r^{n-1}\implies rs_n=r+\cdots+r^n\)
\(\therefore(1-r)s_n=1-r^n.\) 当\(\,r\ne 1\) 时\(\,s_n=\large\frac{1-r^n}{1-r}\)
当\(\,|r|<1\) 时\(\,\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}r^{k-1}=\lim_{n\to\infty}s_n=\frac{1}{1-r}.\)
\((\forall\varepsilon>0\,\forall n>\lceil \varepsilon^{-1}\rceil:\, |10^{-n}-0|< n^{-1}<\varepsilon.\;\therefore\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0)\)
取\(\,r=\large\frac{1}{10}\) 得\(0.999... = {\large\frac{9}{10}}(1+{\large\frac{1}{10^1}}+{\large\frac{1}{10^2}}+\cdots)={\large\frac{9}{10}\frac{1}{1-\frac{1}{10}}}=1\)
\(0.999.....\) 在标准分析中是实数\(1\) 的无尽小数表示。 |
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