125^100 是一个多少位的正整数？

天山草@

\( 125^{100} \) 是一个多少位的正整数？

天山草@

题目来源： 据说上世纪七八十年代，莫斯科大学的数学系的入学考试【类似于中国的高考】针对犹太学生要专门做加试题。加试题共有21道，上面这个是第 18 题。

luyuanhong

题  125^100 是一个多少位的正整数？

解 我们知道有 lg2 ≈ 0.301 ，lg5 = 1 - lg2 ≈ 0.699 。

lg(125^100) = 100 lg125 = 100 lg(5^3) = 300 lg5 ≈ 300×0.699 ≈ 209.7 。

所以，125^100 是一个 210 位的正整数。

天山草@

如果不知道 2 的自然对数等于多少，可以试试用下面这个方法。

因为 \(125^{100}=5^{300}=\frac{10^{300}}{2^{300}}\)，而 \(2^{300}=2^{10×30}=1024^{30}=(1000×1.024)^{30}=10^{90}×1.024^{30}\)。

所以  \(125^{100}=\frac{10^{300}}{10^{90}×1.024^{30}}=\frac{10^{210}}{1.024^{30}}\)。

我们估计  \(1.024^{30}\) 大约是多少。

令 \( 1.024=1+0.024=1+x\) ，对于任何比 1 稍大的数，由二项式公式 :
\( (1+x)^{30}=1+C_{30}^1x+C_{30}^2x^2+C_{30}^3x^3+\cdots= 1+30x+435x^2+4060x^3+\cdots\)

代入 \(x = 0.024 < 0.025 = 1/40\)。估计 1 之后的每一项为 \(  0.75\)、\(  0.27 \) 和 \( 0.06\)。我们看到
后面的项都在迅速变小。估计  \(1 <1.024^{30} < 10\)，也就是说 \(  125^{100}\)  是\(210\)位。

luyuanhong

楼上 天山草@ 的解答很好！已收藏。

ysr

490909346529772655309577195498627564297521551249944956511154911718710525472171585646009788403733195227718357156513187851316791861042471890280751482410896345225310546445986192853894181098439730703830718994140625有210位

我的快速幂程序验证结果。

ysr

107^103=106298981062085398984261562403383263349837964442868507810307009738807344843705364865339956324485528035316400359093700638741132819532061748974027955674576408677676404968323581223524256047933505558946020525795043有210位
103^107=236364932024736995455352091431489553743949533803861815171439952740167119114955747621028350097006869443294913564580637942701653015141969704799413257650918997130525293957603894437844044599887308121387665857407740546487有216位

ysr

不做这样的计算，如何比较107^103和103^107的大小？

ysr

总之可以概括为比较a^b与b^a的大小的问题，应该是：当a>b>2时，b^a>a^b.（其中a,b均为整数）
例如：2^3=8,3^2=9.
3^4=81,4^3=64.
5^6=15625有5位,6^5=7776有4位.

ysr

这个问题咋没人来证明？是说不成立，还是太简单了？