ΔABC中∠C=90°，D是AB中点，E,F在BC,CA上，证：∠EDF=90°＜=＞AF^2+BE^2=DF^2+DE^2

denglongshan

本想回复，找不到原主贴了
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{BM},因为M是中点，所以\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=-（\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EM}）\)，\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}\)，\(两边点乘平方再利用C和角DME是直角和勾股定理即得结论\)

luyuanhong

原帖为 ccmmjj 发表于 2019-2-2 的一个帖子：

如图三角形ＡＢＣ中，角Ｃ是直角，Ｄ是ＡＢ中点，Ｅ、Ｆ分别在两直角边上。

求证：角EＤF是直角等价于AF^2+BE^2=DF^2+DE^2.

denglongshan

延长线上也对

denglongshan

\(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{DE}\)的几何意义是2AH'=2DH，且平行DH,H'和H是中点。

denglongshan

证明：假设Rt△ABC在单位圆上，D在原点，AB在实轴上，显然有d=0,a=-1,b=1,欲证明等式等价于\[e+\bar{e}-(f+\bar{f})=2\]显然
\[AC:f-c\bar{f}=c-1\]
\[BC:e+c\bar{e}=c+1\]
因为\(角DFE是直角，所以\frac{e}{\bar{e}}=-\frac{f}{\bar{f}},即f\bar{e}+e\bar{f}=0\)
由以上三个等式得：\(e=\frac{c+1}{c-1}f,\bar{e}=-\frac{c+1}{c-1}\bar{f}\)，所以
\[e+\bar{e}-(f+\bar{f})=\frac{2f-2c\bar{f}}{c-1}=2\]原命题得证。
这一结论的几何意义如图所示。