重要命题讨论：勾股数完全公式猜想

ysr

ysr 发表于 2021-2-15 04:02
当x+y=2021有1组方程x^2+y^2=z^2的解： /解/1505/516/1591.
以前的所有公式都不能得到这一组解如何表 ...

操作电子表格得，n=1，m=6
a=6^2－1^2=35，35*43=1505
b=2*6*1=12，12*43=516
a=6^2+1^2=37，37*43=1591
分开就明白了，可以这样：t=43，a=6，b=1，是的，这样就可以用原来的公式表示了。
原来的公式就是全体勾股数了？

ysr

当x+y=1001有1组解： /解/429/572/715其中(x + z) / 2=572其方根为：23.9165214862028
当x+y=1002有3组解： /解/144/858/870其中(x + z) / 2=507其方根为：22.5166604983954
/解/858/144/870其中(x + z) / 2=864其方根为：29.3938769133981
/解/0/1002/1002其中(x + z) / 2=501其方根为：22.3830292855994
当x+y=93有1组解： /解/21/72/75其中(x + z) / 2=48其方根为：6.92820323027551
当x+y=155有1组解： /解/35/120/125其中(x + z) / 2=80其方根为：8.94427190999916
当x+y=2021有1组解： /解/1505/516/1591其中(x + z) / 2=1548其方根为：39.344631145812
通解公式可能的确能表示全部勾股数，公式法较快些，比穷举法稍快，由于公式含有3个字母需要3层循环，计算量大，影响速度，对于太大的整数可能是无法完成解，无法算出来，代码如下：

Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, x, y, z, m
m = Text2
b1 = m / 2
s1 = 0
Do While t < Val(b1) + 2
t = t + 1
b = 0
Do While b ^ 2 < Val(b1) + 2
a = b
b = b + 1
Do While a ^ 2 < Val(m)
a = a + 1
x = t * (a ^ 2 - b ^ 2)
y = 2 * a * b * t
z = Sqr(x ^ 2 + y ^ 2)
If InStr(z, ".") = 0 And x + y = Val(m) Then
m1 = (x + z) / 2
m2 = Sqr(m1)
s = s & "/解/" & x & "/" & y & "/" & z & "其中(x + z) / 2=" & m1 & "其方根为：" & m2 & vbCrLf
s1 = s1 + 1
Else
s = s
End If
Loop
Loop
Loop


Text1 = Text1 & "当x+y=" & m & "有" & s1 + s2 & "组解： " & s
End Sub

Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""
Form1.Cls
End Sub

ysr

勾股数通解公式：x=t(a^2-b^2),y=t(2ab),z=t(a^2+b^2)可能已经是完全公式，其中x，y，z，t，a，b均为正整数！

ysr

勾股数通解公式：x=t(a^2-b^2),y=t(2ab),z=t(a^2+b^2)可能的确已经是完全公式，其中x，y，z，t，a，b均为正整数！
当x+y=2021有1组解： /解/1505/516/1591其中(x + z) / 2=1548其方根为：39.344631145812
操作电子表格得，n=1，m=6
a=6^2－1^2=35，35*43=1505
b=2*6*1=12，12*43=516
a=6^2+1^2=37，37*43=1591
分开就明白了，可以这样：t=43，a=6，b=1，是的，这样就可以用原来的公式表示了。
原来的公式可能的确就是全体勾股数了？

蔡家雄

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17，

由 7*17 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=39, b=80, c=89 )

2-----( a=99, b=20, c=101 )

蔡家雄

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= 7*17*23，

由 7*17*23 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=73, b=2664, c=2665 )

2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )

3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )

4-----( a=2173, b=564, c=2245 )

蔡家雄

等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素，

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|，

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

蔡家雄

若（a, b, c）为勾股数，

且 a+b= 23^5，

由 23^5 有 1个素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(1-1)组 本原勾股数。

1-----( a=4076247, b=2360096, c=4710185 )

蔡家雄

若（a, b, c）为勾股数，

且 a+b= 23*31*41*47，

由 23*31*41*47 有 4个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。

1-----( a=201347, b=1172604, c=1189765 )

2-----( a=286991, b=1086960, c=1124209 )

3-----( a=412347, b=961604, c=1046285 )

4-----( a=541751, b=832200, c=993001 )

5-----( a=798111, b=575840, c=984161 )

6-----( a=998031, b=375920, c=1066481 )

7-----( a=1048647, b=325304, c=1097945 )

8-----( a=1132131, b=241820, c=1157669 )

ysr

蔡家雄 发表于 2021-2-18 12:18
若（a, b, c）为勾股数，

且 a+b= 23*31*41*47，

研究比较深入，谢谢沟通探讨和指导！祝愿新年快乐万事如意！