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求最小的 p,使得 q/p 比 355/113 更接近 π

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发表于 2021-2-10 21:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
我们知道,密率 \(\frac{355}{113}\) 有一个妙处,在于它的分母不大但精度却很高,那么,精度比 \(\frac{355}{113}\) 还高的下一个有理数,它的分母至少是多少?现求求最小的正整数 p 和 q,使得 \(\frac{q}{p}\) 比  \(\frac{355}{113}\) 更接近 \(\pi\)。
发表于 2021-2-10 22:12 | 显示全部楼层
B=104348/33215=3.141592653921,分子分母都没有规律,不方便记忆和计算,没有用了。
355/113道是容易记忆,就是把113355中间用/号分开,一个做分母一个做分子。

点评

谢了。不过 33215 似乎不是最小的分母 p,使得 |q/p - pi| < |355/113 - pi|  发表于 2021-2-10 22:20
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发表于 2021-2-10 22:24 | 显示全部楼层
对,要想更精确,位数只能是更多,没法,无穷不循环,没发现规律的数值。
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 楼主| 发表于 2021-2-11 07:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2021-2-11 10:37 编辑
ysr 发表于 2021-2-10 22:24
对,要想更精确,位数只能是更多,没法,无穷不循环,没发现规律的数值。


是的,说得很对。下面是《数学演义》中描述的一段佳话,可见大佬们对这个问题也曾动过一翻巧思。
经编程验证,\(\frac{52163}{16604}\) = 3.14159238737653... 是下一个比 \(\frac{355}{113}\) 更接近 \(\pi\) 的,也就是说,所求的最小 p = 16604。

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
王守恩 + 15 嗨!这些资料哪里来的?我怎么不知道!

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发表于 2021-2-11 08:29 | 显示全部楼层
对,要想接近实际并且分母接近113而小于16586只能是分母113取小数了,可以得到小数点后无穷多位,相当于由圆周率推出分母,再由分母逆推出来圆周率,那是没有意义的。
不过快速计算高精度的圆周率的公式是有意义的,目前的公式是没有穷尽所有公式的,目前的公式都不方便,有的速度慢,有的虽然速度快但复杂而不方便手工计算和记忆的。
研究圆周率仍然有重要意义。
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发表于 2021-2-11 10:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-11 14:37 编辑
uk702 发表于 2021-2-11 07:40
是的,说得很对。下面是《数学演义》中描述的一段佳话,可见大佬们对这个问题也曾动过一翻巧思。


有意思!挺不错的想法!
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发表于 2021-2-11 15:10 | 显示全部楼层
4703/33215=0.141592653921,3*33215+4703=104348.
4687/33102=0.14159265301,3*33102+4687=103993.
所以,103993/33102<圆周率<104348/33215.
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发表于 2021-2-11 19:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-11 19:43 编辑
uk702 发表于 2021-2-11 07:40
是的,说得很对。下面是《数学演义》中描述的一段佳话,可见大佬们对这个问题也曾动过一翻巧思。
经编 ...


\(我来试试,接着说:只要有第一个\ \frac{2351}{16604},后面就容易了。\)
\(a(1)=\frac{2351}{16604}\ \ \ a(2)=\frac{2367}{16717}\ \ \ a(3)=\frac{2383}{16830}......\)
\(a(n)=\frac{2351+16n}{16604+113n}\ \ \ 2351=52163-16604×3\)
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 楼主| 发表于 2021-2-11 19:54 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-2-11 19:37
\(我来试试,接着说:只要有第一个\ \frac{2351}{16604},后面就容易了。\)
\(a(1)=\frac{2351}{16604 ...

首先要给王老师点个赞,确实很有一套,眼光独到,总是能总结出规律性的结论出来。

那么,下一个问题是,在所有满足 q/p 比 355/113 更接近 pi 的 p 中,不能写成 16604+113n 形式的最小 p 是多少?
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发表于 2021-2-11 20:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-2-11 20:07 编辑
王守恩 发表于 2021-2-11 19:37
\(我来试试,接着说:只要有第一个\ \frac{2351}{16604},后面就容易了。\)
\(a(1)=\frac{2351}{16604 ...


Table[FindInstance[{Abs[(16 n + 2351)/x - \[Pi] + 3] < 16/113 - \[Pi] + 3}, {x}, Integers], {n, 0, 41}
{{{x ->16604}}, {{x -> 16717}}, {{x -> 16830}}, {{x -> 16943}}, {{x -> 17056}}, {{x -> 17169}},
{{x -> 17282}}, {{x -> 17395}}, {{x -> 17508}}, {{x -> 17621}}, {{x -> 17734}}, {{x -> 17847}},
{{x -> 17960}}, {{x -> 18073}}, {{x -> 18186}}, {{x -> 18299}}, {{x -> 18412}}, {{x -> 18525}},
{{x -> 18638}}, {{x -> 18751}}, {{x -> 18864}}, {{x -> 18977}}, {{x -> 19090}}, {{x -> 19203}},
{{x -> 19316}}, {{x -> 19429}}, {{x -> 19542}}, {{x -> 19655}}, {{x -> 19768}}, {{x -> 19881}},
{{x -> 19994}}, {{x -> 20107}}, {{x -> 20220}}, {{x -> 20333}}, {{x -> 20446}}, {{x -> 20559}},
{{x -> 20672}}, {{x -> 20785}}, {{x -> 20898}}, {{x -> 21011}}, {{x -> 21124}}, {{x -> 21237}}}
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