证明空间中到 ΔABC 三顶点距离相等的图形是过 ΔABC 外心垂直于 ΔABC 平面的一直线

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空間中到三角形ABC三頂點等距的圖形為何是一直線？此直線如何找？
為何此直線垂直平面ABC?若是直角三角形，為何此直線通過且垂直斜邊中點？

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证明：设动点为P，若P到A、B、C的距离相等，则根据射影长定理有P在ΔABC所在平面上的射影P′到A、B、C的距离相等。所以 P′是△ABC的外心。即动点P的轨迹是过ΔABC 外心且垂直于 ΔABC所在平面的直线 。

注：楼主的“内心”应是“外心”。显然，若△ABC是直角三角形，则要找的点 P′显然是斜边的中点。

天山草@

作三角形 ABC 的外接圆，从圆心作三角形所在平面的垂线。那么该垂线上的任何一点到 A、B、C 的距离相等。

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