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张筑生的这个证明是不是错的

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发表于 2021-1-12 00:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 simpley 于 2021-1-11 16:07 编辑

张筑生《数学分析新讲》中证明二项式定理中,这个推理是不是有错?下面第二页第七段:
根据1+θx<2,怎么能推出两边α-1次方后,不等式仍成立?当α-1<0时,不等式是会改方向的。

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发表于 2021-1-12 01:12 | 显示全部楼层
谢谢simpley 的发现.这里确实有问题.但只要把\(2^{\alpha-1}\)改成\(2^{|\alpha|+1}\) 就OK了.
张筑生的这个定理很重要,也很漂亮.
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 楼主| 发表于 2021-1-12 01:31 | 显示全部楼层
加上绝对值也不行。事实上,当x取负值时,α-1也取负,1+θx的α-1次方的值可以无限大
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发表于 2021-1-12 03:00 | 显示全部楼层
simpley 发表于 2021-1-11 10:31
加上绝对值也不行。事实上,当x取负值时,α-1也取负,1+θx的α-1次方的值可以无限大

\((1+\theta x)^{\alpha-1}\le \begin{cases}\big(1-|x|\big)^{\alpha-1},& \alpha< 1\\ 2^{\alpha-1},& \alpha\ge 1\end{cases}\)
\(\therefore\;\;0< (1+\theta x)^{\alpha-1}\le \big(\frac{1}{1-|x|}+2\big)^{|\alpha-1|}\;\;(|x|<1,\;\forall \alpha)\)
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 楼主| 发表于 2021-1-12 07:09 | 显示全部楼层
呵呵,我虽然也想到这样的解决办法,但没有elim这样精练的表达方式。elim对数学语言的运用确实娴熟
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 楼主| 发表于 2021-1-12 08:06 | 显示全部楼层
当α>1时,1+θx<1+|x|,所以elim上式中最后的2可改为1,形式上更漂亮一些

点评

有道理!  发表于 2021-1-12 11:53
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