张筑生的这个证明是不是错的

simpley

张筑生《数学分析新讲》中证明二项式定理中，这个推理是不是有错？下面第二页第七段：
根据1+θx<2,怎么能推出两边α-1次方后，不等式仍成立？当α-1<0时，不等式是会改方向的。

elim

谢谢simpley 的发现．这里确实有问题．但只要把\(2^{\alpha-1}\)改成\(2^{|\alpha|+1}\) 就OK了．
张筑生的这个定理很重要，也很漂亮.

simpley

加上绝对值也不行。事实上，当x取负值时，α-1也取负，1+θx的α-1次方的值可以无限大

elim

simpley 发表于 2021-1-11 10:31
加上绝对值也不行。事实上，当x取负值时，α-1也取负，1+θx的α-1次方的值可以无限大

\((1+\theta x)^{\alpha-1}\le \begin{cases}\big(1-|x|\big)^{\alpha-1},& \alpha< 1\\ 2^{\alpha-1},& \alpha\ge 1\end{cases}\)
\(\therefore\;\;0< (1+\theta x)^{\alpha-1}\le \big(\frac{1}{1-|x|}+2\big)^{|\alpha-1|}\;\;(|x|<1,\;\forall \alpha)\)

simpley

呵呵，我虽然也想到这样的解决办法，但没有elim这样精练的表达方式。elim对数学语言的运用确实娴熟

simpley

当α>1时，1+θx<1+|x|，所以elim上式中最后的2可改为1,形式上更漂亮一些