平行四边形 ABCD 四顶点在椭圆 x^2/4+y^2/2=1 上，AB 斜率为 1，求 ABCD 周长的最大值

wintex

請問幾何

天山草@

用平行四边形 DC 边与 x 轴的交点的横坐标 u 为变量，可求出

平行四边形各顶点的坐标。然后再求周长的最大值。

求出最大值为 4 sqrt(6)。当 u=sqrt(10/3) 时周长最大。

luyuanhong

天山草@

(1) 如果 AB 的斜率没有约束，平行四边行的最大周长是多少？

(2) 当周长最大时，AB 的斜率可以取哪些值？

luyuanhong

天山草@ 发表于 2021-1-13 10:17
(1) 如果 AB 的斜率没有约束，平行四边行的最大周长是多少？

(2) 当周长最大时，AB 的斜率可以取哪些值 ...

很奇妙，当 AB 的斜率为任何一个 k 值时，求出的平行四边形周长最大值都是 4√6 。

反过来也就是说，当平行四边形周长取到最大值 4√6 时，AB 的斜率 k 可取任何值。

波斯猫猫

题：平行四边形 ABCD 四顶点在椭圆 x^2/4+y^2/2=1 上，AB 斜率为 1，求 ABCD 周长的最大值。
解：设直线AB为y=x+a（a＞0），与x^2/4+y^2/2=1联立并消去y有，3x^2+4ax+2a^2-4=0.
所以  x1+x2=-4a/3，x1x2=（2a^2-4）/3，从而 y1+y2=2a/3，y1y2=（a^2-4）/3.
设B（x1，y1），A（x2，y2），由对称性有C（-x2，-y2）.
所以AB+AC=d=√[（x1-x2）^2+（y1-y2）^2]+√[（x1+x2）^2+（y1+y2）^2]
     =√[（x1+x2）^2+（y1+y2）^2-4（x1x2+y1y2）]+√[（x1+x2）^2+（y1+y2）^2]
     =√[（-4a/3）^2+（2a/3）^2-4（（2a^2-4）/3+（a^2-4）/3）]+√[（-4a/3）^2+（2a/3）^2]，
即3d=4√（6-a^2）+2√5a，或12a^2-4√5da+3d^2-32=0.
因a＞0，故关于a的一元二次方程的判别式非负，即80d^2-48（3d^2-32）≥0.
解得2d≤4√6.

注：在解析几何中，解决线段问题常用韦达定理，利用它可大量减少运算量。
   

luyuanhong