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平行四边形 ABCD 四顶点在椭圆 x^2/4+y^2/2=1 上,AB 斜率为 1,求 ABCD 周长的最大值

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发表于 2021-1-11 20:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
請問幾何

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发表于 2021-1-12 21:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-1-12 21:23 编辑


用平行四边形 DC 边与 x 轴的交点的横坐标 u 为变量,可求出

平行四边形各顶点的坐标。然后再求周长的最大值。

求出最大值为 4 sqrt(6)。当 u=sqrt(10/3) 时周长最大。

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謝謝老師  发表于 2021-1-12 23:40
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发表于 2021-1-12 22:50 | 显示全部楼层


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謝謝老師  发表于 2021-1-13 00:18
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发表于 2021-1-13 10:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2021-1-13 10:25 编辑

(1) 如果 AB 的斜率没有约束,平行四边行的最大周长是多少?

(2) 当周长最大时,AB 的斜率可以取哪些值?

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发表于 2021-1-13 22:41 | 显示全部楼层
天山草@ 发表于 2021-1-13 10:17
(1) 如果 AB 的斜率没有约束,平行四边行的最大周长是多少?

(2) 当周长最大时,AB 的斜率可以取哪些值 ...


很奇妙,当 AB 的斜率为任何一个 k 值时,求出的平行四边形周长最大值都是 4√6 。

反过来也就是说,当平行四边形周长取到最大值 4√6 时,AB 的斜率 k 可取任何值。




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结论完全正确。  发表于 2021-1-14 10:02
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发表于 2021-1-14 12:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-1-14 12:17 编辑

题:平行四边形 ABCD 四顶点在椭圆 x^2/4+y^2/2=1 上,AB 斜率为 1,求 ABCD 周长的最大值。
解:设直线AB为y=x+a(a>0),与x^2/4+y^2/2=1联立并消去y有,3x^2+4ax+2a^2-4=0.
所以  x1+x2=-4a/3,x1x2=(2a^2-4)/3,从而 y1+y2=2a/3,y1y2=(a^2-4)/3.
设B(x1,y1),A(x2,y2),由对称性有C(-x2,-y2).
所以AB+AC=d=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]+√[(x1+x2)^2+(y1+y2)^2]
     =√[(x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4(x1x2+y1y2)]+√[(x1+x2)^2+(y1+y2)^2]
     =√[(-4a/3)^2+(2a/3)^2-4((2a^2-4)/3+(a^2-4)/3)]+√[(-4a/3)^2+(2a/3)^2],
即3d=4√(6-a^2)+2√5a,或12a^2-4√5da+3d^2-32=0.
因a>0,故关于a的一元二次方程的判别式非负,即80d^2-48(3d^2-32)≥0.
解得2d≤4√6.

注:在解析几何中,解决线段问题常用韦达定理,利用它可大量减少运算量。
   
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发表于 2021-1-14 23:52 | 显示全部楼层


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