可微与可导是什么关系？有没有可导不可微的例子？

wufaxian

看了可微的定义。不严谨的概括一些就是“dertaX”无穷小时允许以直代曲。df=f‘ *dx。如果是这样的话，那么可微必可导吧？至少在一元函数应该是这样吧。因为可微的公式里面就有一个导数。那么有没有可导但是不可微的例子呢？就像y=｜x｜，在（0，0）连续但是不可导，很形象很好记。有没有可导不可微的例子？（例子可以按照一元函数，多元函数分别给出）
看多元函数的许多定义（混合偏导定理，链式法则定理）总强调一个前提，在某某点可微。不明白为什么？为什么这么强调可微？而不说函数在某某点可导？

elim

微分\(\mathbf{f}'(\mathbf{x_0})\Delta\mathbf{x}\)是函数在\(\mathbf{x_0}\)的高阶线性逼近
\(\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x_0})=\mathbf{f}'(\mathbf{x_0})(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})+o(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})\)
对单变量纯量函数，线性变换即数乘变换，这个数就是导数.

coolboy

f(x)在x的导数存在，则称f(x)在x可微。所以，导数存在=可微=可导。在英语中，通常只说“可微”，很少说“可导”。中文习惯上则说“可导”要比说“可微”要多一点。“可导”和“可微”应该是同一件事。

coolboy

再说一个微分和导数的关系，那是全微分和偏导数的关系。多变量函数f(t,x,y,z)的全微分可以表达成
  df = (@f/@t)dt + (@f/@x)dx + (@f/@y)dy + (@f/@z)dz
初学微积分时大家想的是怎样根据f(t,x,y,z)求出它的偏导数，从而得到f的全微分。在后来学习偏微分方程时，也常会遇到从给定的全微分找出或理解偏导数是什么。这时要记得的就是dx前面的那一大堆系数就是(@f/@x) 类似地，dy前面的东东就是(@f/@y) ，等等。

doletotodole

所以导数是省略了一个无穷小量, 如果不省略能否构造更精确的导数?

elim

现代数学的微分被定义为函数增量的线性主部，即微分是自变量增量的线性函数, 它与函数增量的差是一个比自变量增量更高阶的小量。
这个线性变换在给定的基(坐标系)下被一个矩阵矩阵刻划.当这个矩阵\(1\times 1\)时它就是一个书，叫作导数。否则这个矩阵的各元素都是偏导数，这个矩阵叫 Jacobin 矩阵。所以在单变量纯量函数的情况可微可导是一个意思，在一般情形可微仍有意义，但可导就意义模糊，不确切了。

wufaxian

coolboy 发表于 2021-1-14 09:52
再说一个微分和导数的关系，那是全微分和偏导数的关系。多变量函数f(t,x,y,z)的全微分可以表达成
  df = ...

谢谢回复。多元微积分的这部分内容有什么中文书籍推荐么？讲的比较形象，比较详细的。限于本人知识结构所限，数学分析类的书籍就别推荐了。证明太多。跟不上。