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可微与可导是什么关系?有没有可导不可微的例子?

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发表于 2021-1-11 19:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2021-1-11 20:35 编辑

看了可微的定义。不严谨的概括一些就是“dertaX”无穷小时允许以直代曲。df=f‘ *dx。如果是这样的话,那么可微必可导吧?至少在一元函数应该是这样吧。因为可微的公式里面就有一个导数。那么有没有可导但是不可微的例子呢?就像y=|x|,在(0,0)连续但是不可导,很形象很好记。有没有可导不可微的例子?(例子可以按照一元函数,多元函数分别给出)
看多元函数的许多定义(混合偏导定理,链式法则定理)总强调一个前提,在某某点可微。不明白为什么?为什么这么强调可微?而不说函数在某某点可导?
发表于 2021-1-14 02:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2021-1-13 11:15 编辑

微分\(\mathbf{f}'(\mathbf{x_0})\Delta\mathbf{x}\)是函数在\(\mathbf{x_0}\)的高阶线性逼近
\(\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x_0})=\mathbf{f}'(\mathbf{x_0})(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})+o(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})\)
对单变量纯量函数,线性变换即数乘变换,这个数就是导数.
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发表于 2021-1-14 08:59 | 显示全部楼层
f(x)在x的导数存在,则称f(x)在x可微。所以,导数存在=可微=可导。在英语中,通常只说“可微”,很少说“可导”。中文习惯上则说“可导”要比说“可微”要多一点。“可导”和“可微”应该是同一件事。
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发表于 2021-1-14 09:52 | 显示全部楼层

再说一个微分和导数的关系,那是全微分和偏导数的关系。多变量函数f(t,x,y,z)的全微分可以表达成
  df = (@f/@t)dt + (@f/@x)dx + (@f/@y)dy + (@f/@z)dz
初学微积分时大家想的是怎样根据f(t,x,y,z)求出它的偏导数,从而得到f的全微分。在后来学习偏微分方程时,也常会遇到从给定的全微分找出或理解偏导数是什么。这时要记得的就是dx前面的那一大堆系数就是(@f/@x) 类似地,dy前面的东东就是(@f/@y) ,等等。
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发表于 2021-1-15 02:30 | 显示全部楼层
所以导数是省略了一个无穷小量, 如果不省略能否构造更精确的导数?
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发表于 2021-1-15 07:51 | 显示全部楼层
现代数学的微分被定义为函数增量的线性主部,即微分是自变量增量的线性函数, 它与函数增量的差是一个比自变量增量更高阶的小量。
这个线性变换在给定的基(坐标系)下被一个矩阵矩阵刻划.当这个矩阵\(1\times 1\)时它就是一个书,叫作导数。否则这个矩阵的各元素都是偏导数,这个矩阵叫 Jacobin 矩阵。所以在单变量纯量函数的情况可微可导是一个意思,在一般情形可微仍有意义,但可导就意义模糊,不确切了。
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