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正方形 ABCD 边长 5 ,E 在 BC 上,BE=1,F 在 AB 上,EFG 为正三角形,求 AG 最小值

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发表于 2021-1-11 10:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
这道题目是教初三的把关老师推荐给我晚上动脑用的。题目其实很简单:

正方形ABCD边(边长5)上有定点E(BE=1),动点F。G在形内,EFG成正三角形。求AG的最小值。

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发表于 2021-1-11 20:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-1-11 20:44 编辑

思路之一:设∠BFE=θ,则由条件有FG=FE=1/sinθ,且FB=cotθ,即AF=5-cotθ。
所以,由余弦定理有AG^2=(5-cotθ)^2+(1/sinθ)^2-2(5-cotθ)cos(120°-θ)/sinθ
              =(cotθ)^2-(5-√3)cotθ+26-5√3(以下配方可解决问题。题目其实很简单!?).

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王守恩 + 10 好!!

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发表于 2021-1-12 17:38 | 显示全部楼层
可以试试下面的方法:

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根据答案,是可以有AG=HF。  发表于 2021-1-15 18:24
可以证明图中的两个阴影三角形全等吗?谢谢!  发表于 2021-1-14 17:40
非常漂亮的解法!  发表于 2021-1-12 21:38
有一位叫“王有喜”的是网络数学的高手,不知是不是你?  发表于 2021-1-12 18:09
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 楼主| 发表于 2021-1-12 18:02 | 显示全部楼层
王广喜 发表于 2021-1-12 09:38
可以试试下面的方法:

很精妙的方法!,答案是正确的。可惜要用到高中数学知识,这是一道初中数学填空的压轴题。不过就这解法的美感来说,已经可以说明2楼波斯猫的质疑是不对的,这确实是一个简单的题目。
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发表于 2021-1-12 18:21 | 显示全部楼层
楼上 王广喜 的解答很好!已收藏。
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发表于 2021-1-12 20:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-1-12 20:37 编辑

对比:
1,设角θ(设角α);
2,用锐角三角函数的定义两次(用锐角三角函数的定义两次);
3,用余弦定理一次(用勾股定理一次);
4,用平方关系一次(用平方关系一次);
5,用cos(120°-θ)一次(用sin(60°-α)一次);[化成cotθ的二次函数的运算量较大,但只需按部就班即可]
6,用配方法两次(未用);
7,开平方一次(未用);
8,...................(作辅助正三角形一个);[一个是不易想到,即使想到了,后续的作垂线、证明等应用又是个难点]
9,.....................(要作一条垂线,并要解释其作用);
10,..................(要证明一对三角形全等);
11,高中知识点三个(高中知识点两个)。
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 楼主| 发表于 2021-1-12 20:50 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2021-1-12 12:27
对比:
1,设角θ(设角α);
2,用锐角三角函数的定义两次(用锐角三角函数的定义两次);

其实只要初中数学知识两三步就好,有空我写出来。

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看看三步就好  发表于 2021-1-13 12:41
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发表于 2021-1-13 09:33 | 显示全部楼层
初中一种解法

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降低了解法水平,没有降低解题难度。  发表于 2021-1-13 10:26

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王守恩 + 15 很给力!

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 楼主| 发表于 2021-1-13 12:32 | 显示全部楼层
这大概是硬算派的方法。

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看看三步就好  发表于 2021-1-13 12:42

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 楼主| 发表于 2021-1-13 13:13 | 显示全部楼层
我的解答在这里,只要用到旋转的概念和含30度角的直角三角形的边边关系。只要三步。

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