函数项级数在无穷区间上一致收敛的判定及定义

永远

瑕积分形如：\(\displaystyle\int_0^\infty {u(x)} dx\)在无穷区间上关于函数项级数\(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{u_n}(x)} \)一致收敛的判定及定义。比如当\(\displaystyle\ x = 0\)时原级数发散，一致收敛怎么分析判定的。

elim

题：举例说明一致收敛不能保证无穷区间函数列极限与积分次序的可换性．

elim

瑕积分级数无所谓一致收敛，对函数项级数可以谈一致收敛与否的问题。
一致收敛定义与区间是否有限没有关系。\((0,\infty)\)内闭一致收敛不足以
保证暇积分与求和号的可交换性。

elim

永远 发表于 2021-1-10 20:04
然后呢，？？？？？？？？

把我的贴子弄懂了就知道然后要做什么了，

elim

不要放弃．像放弃弧长公式的论证一样．

永远

elim 发表于 2021-1-11 22:03
不要放弃．像放弃弧长公式的论证一样．

正在一个一个验证，换个思路，我没必要纠结那个积分能不能求出来，我先绕过0这个发散点然后再回来反击它，不知道合不合法。这样避免逻辑尴尬。

\(\displaystyle\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}} dx = \int_0^1 {\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)} d(\ln x) \hfill \\
\quad \,\;\;\,\;\,\underline{\underline {(令： - \ln x = t)}} \int_0^\infty  {\ln t\ln (1 - {e^{ - t}})} dt \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\ln x} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad\quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\,\,\,\, \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} (\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } ) \hfill \\
\quad\quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\, \; =  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {(\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } ) \hfill \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\; \; \;\;\; =  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }  \hfill \\
     \quad \quad \quad \quad \quad \; = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\gamma  + \ln n}}{{{n^2}}}}  \hfill \\
    \quad\quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\; = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{\gamma }{{{n^2}}}}  - {\left. {\frac{d}{{ds}}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}}}} } \right|_{s = 2}} \hfill \\
   \quad \quad \quad \quad \;\;\;\;\;= \frac{{\gamma {\pi ^2}}}{6} - \zeta '(2) \hfill \\
\end{gathered} \)

永远

前期细节手稿，作为补充。其中已在楼上更正

elim

6楼的第7，8个等号是需要证明的．

永远

苦逼啊！6楼第8个等号不合法：\(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } \)在\(\displaystyle[0,\infty )\)上不一致收敛！！！ 根据陆老师贴中说极限号与求和号交换次序，是因为函数项级级在积分区间上一致收敛。因此这个等式不成立：

  \(\displaystyle\boxed{\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} (\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } ) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {(\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} } )}\)

根据陆老师贴子中红圈部分，一字一句宣判我6楼第8个等号是不成立的，是不能交换次序的

永远