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这个 ln(1+t)-ln(1-t) 的级数展开式是怎么来的?

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发表于 2021-1-7 19:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 永远 于 2021-1-7 22:52 编辑

陆老师好,这个结论是怎么来的???可否具体写下过程

\(\,\displaystyle\boxed{\ln (1 + t) - \ln (1 - t) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{2}{{2n + 1}}} {{(\frac{{x - 1}}{{x + 1}})}^{2n + 1}}}\)

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发表于 2021-1-7 22:32 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-1-7 22:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2021-1-9 21:17 编辑


谢谢陆老师,有了这个结论:\(\displaystyle\boxed{\ln x = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{2}{{2n + 1}}} {{(\frac{{x - 1}}{{x + 1}})}^{2n + 1}}\;,x \in (0,\infty )}\)

我想把这个代进积分内看看:\({\;\;\displaystyle\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }\)

于是得到这个积分:\(\;\;\displaystyle\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{2}{{2n + 1}}(\frac{{x - 1}}{{x + 1}})} }^{2n + 1}}dx} \)   解这个积分看来是关键。


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 楼主| 发表于 2021-1-7 23:16 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2021-1-7 23:37 | 显示全部楼层
看着越来越复杂了,找到突破口是关键
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发表于 2021-1-8 04:48 | 显示全部楼层
问出主贴问题的人,要算3楼的积分,不容易。
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 楼主| 发表于 2021-1-8 09:45 | 显示全部楼层
陆老师早上好
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 楼主| 发表于 2021-1-9 12:33 | 显示全部楼层

陆老师好,请教3楼
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 楼主| 发表于 2021-1-9 18:09 | 显示全部楼层
求助于…~~~~~
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