问通项公式

王守恩

    若 a, b, c, d, n, m 均为正整数。

\(\ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\frac{n}{m}\)

    问：如何用 a, b, c, d 来表示\(\ \displaystyle\frac{n}{m}\ \)的通项公式？

   譬如：
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k+2}}{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k}}=\frac{343}{580}\)

elim

若 \(a,b,c\in\mathbb{N}^+\), 则\(\,\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{a+(\frac{b}{b+c})^{k+d}}{a+(\frac{b}{b+c})^k}=\frac{a+0}{a+0}=1\)

uk702

由于 a ≠ 0 且为常数值，k->∞， (b/(b+c))^(k+d)  -> 0,   (b/(b+c))^k  -> 0
(a +o(1))/(a+o(1)) = 1，故 n/m = 1

王守恩

uk702 发表于 2021-1-1 14:25
由于 a ≠ 0 且为常数值，k->∞， (b/(b+c))^(k+d)  -> 0,   (b/(b+c))^k  -> 0
(a +o(1))/(a+o(1)) = 1， ...

   

   譬如：
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k+2}}{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k}}=\frac{343}{580}\)

elim

你楼上的k没有趋于无穷．

王守恩

elim 发表于 2021-1-1 22:22
你楼上的k没有趋于无穷．

谢谢elim！要不这样写？

\(\ \ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\prod_{k=1}^{x}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\frac{n}{m}\)

elim

\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty}\frac{(a+\lambda^{N+1})(a+\lambda^{N+2})\cdots(a+\lambda^{N+d})}{(a+\lambda)(a+\lambda^2)\cdots(a+\lambda^d)}\)
\(\displaystyle=\prod_{k=1}^d\big (1+a^{-1}\lambda^k\big)^{-1}\quad(\lambda=\small\frac{b}{b+c})\)

王守恩

elim 发表于 2021-1-2 11:14
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty} ...

谢谢 elim！太神奇了！
1，我们总可以让无限个数相乘变成有限个数相乘。
2，我们总可以让任意的真分数变成无限个数相乘。  
3，我们总可以让任意的假分数变成无限个数相乘。

王守恩

elim 发表于 2021-1-2 11:14
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty} ...

谢谢 elim！太神奇了！向前走一走。

       1，x 为整数， a, b, c, d 为正整数。
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=x}^{\infty}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k-d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\prod_{k=x-d}^{x-1}\bigg(1+\frac{b^k}{a(b+c)^k}\bigg)\)

       2， x 为整数， a, b, c, d 为正整数。
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=x}^{\infty}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}=\prod_{k=x}^{x+d-1}\bigg(1+\frac{b^k}{a(b+c)^k}\bigg)\)

王守恩

elim 发表于 2021-1-2 11:14
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty} ...

谢谢 elim！
\(在这里，我们可以把\ \infty\ 去掉。\)
\(下面的题，我们还可以把\ \infty\ 去掉吗？\)
\(\displaystyle若\ 1≤x<\infty，我们恒有：\ln(x)\equiv \sum_{n=\infty/x}^{\infty}\frac{1}{n}\)