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问通项公式

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发表于 2021-1-1 14:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 王守恩 于 2021-1-2 15:44 编辑

    若 a, b, c, d, n, m 均为正整数。

\(\ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\frac{n}{m}\)

    问:如何用 a, b, c, d 来表示\(\ \displaystyle\frac{n}{m}\ \)的通项公式?

   譬如:
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k+2}}{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k}}=\frac{343}{580}\)
发表于 2021-1-1 14:24 | 显示全部楼层
若 \(a,b,c\in\mathbb{N}^+\), 则\(\,\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{a+(\frac{b}{b+c})^{k+d}}{a+(\frac{b}{b+c})^k}=\frac{a+0}{a+0}=1\)
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发表于 2021-1-1 14:25 | 显示全部楼层
由于 a ≠ 0 且为常数值,k->∞, (b/(b+c))^(k+d)  -> 0,   (b/(b+c))^k  -> 0
(a +o(1))/(a+o(1)) = 1,故 n/m = 1
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 楼主| 发表于 2021-1-1 15:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-1-1 15:14 编辑
uk702 发表于 2021-1-1 14:25
由于 a ≠ 0 且为常数值,k->∞, (b/(b+c))^(k+d)  -> 0,   (b/(b+c))^k  -> 0
(a +o(1))/(a+o(1)) = 1, ...

   

   譬如:
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k+2}}{1+\big(\frac{3}{3+4}\big)^{k}}=\frac{343}{580}\)

点评

你的 k 没趋于无穷  发表于 2021-1-1 15:06
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发表于 2021-1-1 22:22 | 显示全部楼层
你楼上的k没有趋于无穷.
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 楼主| 发表于 2021-1-2 07:25 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-1-1 22:22
你楼上的k没有趋于无穷.

谢谢elim!要不这样写?

\(\ \ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\prod_{k=1}^{x}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\frac{n}{m}\)


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发表于 2021-1-2 11:14 | 显示全部楼层
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty}\frac{(a+\lambda^{N+1})(a+\lambda^{N+2})\cdots(a+\lambda^{N+d})}{(a+\lambda)(a+\lambda^2)\cdots(a+\lambda^d)}\)
\(\displaystyle=\prod_{k=1}^d\big (1+a^{-1}\lambda^k\big)^{-1}\quad(\lambda=\small\frac{b}{b+c})\)

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王守恩 + 15 太厉害了!我的哥!

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 楼主| 发表于 2021-1-2 15:57 | 显示全部楼层
elim 发表于 2021-1-2 11:14
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty} ...

谢谢 elim!太神奇了!
1,我们总可以让无限个数相乘变成有限个数相乘。
2,我们总可以让任意的真分数变成无限个数相乘。  
3,我们总可以让任意的假分数变成无限个数相乘。
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 楼主| 发表于 2021-1-3 15:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-1-3 15:21 编辑
elim 发表于 2021-1-2 11:14
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty} ...


谢谢 elim!太神奇了!向前走一走。

       1,x 为整数, a, b, c, d 为正整数。
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=x}^{\infty}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k-d}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}=\prod_{k=x-d}^{x-1}\bigg(1+\frac{b^k}{a(b+c)^k}\bigg)\)

       2, x 为整数, a, b, c, d 为正整数。
\(\ \ \displaystyle\prod_{k=x}^{\infty}\frac{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k}}{a+\big(\frac{b}{b+c}\big)^{k+d}}=\prod_{k=x}^{x+d-1}\bigg(1+\frac{b^k}{a(b+c)^k}\bigg)\)
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 楼主| 发表于 2021-1-12 08:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-1-12 08:48 编辑
elim 发表于 2021-1-2 11:14
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N\frac{a+\lambda^{k+d}}{a+\lambda^{k}}=\lim_{N\to\infty} ...


谢谢 elim!
\(在这里,我们可以把\ \infty\ 去掉。\)
\(下面的题,我们还可以把\ \infty\ 去掉吗?\)
\(\displaystyle若\ 1≤x<\infty,我们恒有:\ln(x)\equiv \sum_{n=\infty/x}^{\infty}\frac{1}{n}\)
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