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用Weierstrass判别法证明函数项级数 lnx∑(n=1,∞)e^(-nx)/n 在 [a,∞) 上一致收敛

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发表于 2020-12-21 21:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 永远 于 2021-1-20 19:45 编辑

Weierstrass判别法证明函数项级数lnx∑(n=1,∞)e^(-nx)/n在 [a,∞) 上一致收敛 。


\[\displaystyle\int_0^\infty  {\ln x\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx} \]


特别地,当a=0时函数项级数lnx∑(n=1,∞)e^(-nx)/n收不收敛?????

                                                            

本帖被以下淘专辑推荐:

  • · 好貼|主题: 366, 订阅: 6
发表于 2020-12-21 23:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-12-21 10:51 编辑

\(a=0\)时级数变成调和级数. 复习调和级数的敛散性.对\(a>0, \;u_n=\ln x e^{-nx},\)
\(\because\;\;v(x)=(\ln x)e^{-x/2}\to 0,\;|v(x)|\)在\([a,\infty)\)一致有界\(M.\)
\(|\ln x|\displaystyle\sum_{k=m}^{n}e^{-nx}\le {\small\frac{M }{e^{-x/2}}}\frac{e^{-mx}-e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}<M\frac{e^{-(m-1/2)a}}{1-e^{-a}}\to 0\;(x\ge a,\;n\ge m\to\infty)\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n(x)|\;\)在\([a,\infty)\)一致收敛(Cauchy准则). 进而 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\small\frac{1}{n}}u_n(x)\)在\(\,[a,\infty)\)一致收敛.
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发表于 2020-12-22 03:00 | 显示全部楼层
其实那要求没啥意思. 一致收敛为啥使求和与积分可交换不是 Weierstrass 判别法则能解释的. 这个判别法只给出一致收敛的充分条件.
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发表于 2020-12-22 08:44 | 显示全部楼层
问得不值得答. 也没有在乎要求. 梳理自己的认识而已.  好好求助吧.
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发表于 2020-12-22 11:24 | 显示全部楼层


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天冷了,陆老师注意好身体  发表于 2020-12-22 12:49
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发表于 2020-12-22 11:52 | 显示全部楼层
@永远  

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我继续向陆老师学习,陆教授的贴子对于我来说比较亲切,e老师的贴子太硬性!  发表于 2020-12-22 12:46
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发表于 2020-12-22 18:53 | 显示全部楼层


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发表于 2020-12-23 22:00 | 显示全部楼层
谢谢楼上 永远 指出我的笔误!现已更正。

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8楼贴子后面我还有个别小细节疑问,待会发贴  发表于 2020-12-23 22:27
小瑕疵而已,不足一闪。谢谢老师指导科普  发表于 2020-12-23 22:26
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 楼主| 发表于 2020-12-24 00:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2022-11-28 16:53 编辑
luyuanhong 发表于 2020-12-23 22:00
谢谢楼上 永远 指出我的笔误!现已更正。


陆老师好,这个在怎么继续





\[\begin{gathered}
  \int_0^1 {\frac{{\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)}}{x}} dx = \int_0^1 {\ln ( - \ln x)\ln (1 - x)} d(\ln x) \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \,\;\;\,\;\,\underline{\underline {( 令:- \ln x = t)}} \int_0^\infty  {\ln t\ln (1 - {e^{ - t}})} dt \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, = \int_0^\infty  {\ln x\ln (1 - {e^{ - x}})} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\ln x} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} dx \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, =  - \int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \int_\lambda ^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln x} dx}  \hfill \\
  \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, =  - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to {0^ + }} \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_\lambda ^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}\ln xdx} }  \hfill \\
\end{gathered} \]
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 楼主| 发表于 2020-12-24 12:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2020-12-26 20:29 编辑

陆老师中午好,请教9楼
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