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等边三角形 ΔABC 中,D,E 是 BC,AC 上两点,∠ADB=2∠CDE,BD/CE=3/4,求 AD/CE

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发表于 2020-12-11 23:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
这个题我用坐标法求解,最后得到一个三次方程。虽然理论上可以解出,但这样做太麻烦了。有没有别的方法呢

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 楼主| 发表于 2020-12-11 23:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 simpley 于 2020-12-12 03:38 编辑

答案是E点是AC中点,AD/EC=7/4
我只能算到这一步,这是一个有三个实根的方程。如果用余弦定理或正弦定理,还会得到更高次的方程。

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发表于 2020-12-12 09:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-12-12 09:50 编辑

太神奇了!假如作AH=AE,则有 BD=DH,不知谁能有几何的方法证明?我只会死算并解4次方程。

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 楼主| 发表于 2020-12-12 12:08 | 显示全部楼层
楼上的方程实际上是个三次方程,本质上和我的那个方程一样。如果把单位统一后(我是把边长定为2),它们就是一个方程
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 楼主| 发表于 2020-12-12 19:09 | 显示全部楼层
不管BD/CE值是多少,它们的和总等于AD。
那个三次多项式分解的方法主要来源于
tan(2a)=2tan(a)/1-tan(a)^2
当a=60时,2a和a是可以互换的,这就保证了三次多项式必可以被(t-2)分解。

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发表于 2020-12-12 19:45 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-12-12 09:49
太神奇了!假如作AH=AE,则有 BD=DH,不知谁能有几何的方法证明?我只会死算并解4次方程。

N[Solve[{4/Sin[a] == (x + 1)/Sin[2 \[Pi]/3 - a],
(x + 4)/Sin[2 a] == y/Sin[\[Pi]/3] == 3/Sin[\[Pi]/3 + 2 a],
\[Pi]/2 > a > 0}, {x, y, a}], 40]
{{x -> 4.000000000000000000000000000000000000000,
  y -> 7.000000000000000000000000000000000000000,
  a -> 0.8570719478501309884131979858981848840988}}
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 楼主| 发表于 2020-12-14 23:18 | 显示全部楼层
这了让这个题具有普遍意义,图不变,现在改为:
等边三角形ABC中,角ADB=2角CDE,证明 BD+EC=AD。
求几何证明
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发表于 2020-12-16 16:38 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-12-12 19:45
N[Solve[{4/Sin[a] == (x + 1)/Sin[2 \/3 - a],
(x + 4)/Sin[2 a] == y/Sin[\/3] == 3/Sin[\/3 + 2 a], ...


注意2组方程的不同(s虽然用的都是正弦定理)。

1(6楼),N[Solve[{4/Sin[a] == (x + 1)/Sin[2 \[Pi]/3 - a],
(x + 4)/Sin[2 a] == y/Sin[\[Pi]/3] == 3/Sin[\[Pi]/3 + 2 a],
\[Pi]/2 > a > 0}, {x, y, a}], 40]
{{x -> 4.000000000000000000000000000000000000000,
  y -> 7.000000000000000000000000000000000000000,
  a -> 0.8570719478501309884131979858981848840988}}

2,Solve[{(x + 4)/Sin[\[Pi]/3 + 2 a] == y/Sin[\[Pi]/3] == 3/Sin[2 a],
   4/Sin[\[Pi]/3 - a] == z/Sin[\[Pi]/3] == (x + 1)/Sin[\[Pi]/3 + a],
   x > 0, \[Pi] > a > 0}, {x, y, z, a}]
{{x -> 4, y -> 7, z -> Sqrt[21], a -> -2 ArcTan[3 Sqrt[3] - 2 Sqrt[7]]}}
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 楼主| 发表于 2020-12-17 02:02 | 显示全部楼层
已改为证明题,不用计算
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发表于 2021-1-12 18:27 | 显示全部楼层
下面是网友 ccmmjj 在《数学中国》论坛上发表的一个帖子:


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