题 求交错项组合级数之和 ∑(k=1,n)(-1)^k C(n,k) 。
解 由二项展开公式可得
∑(k=0,n)(-1)^k C(n,k) = (1-1)^k = 0^k = 0 。
所以,有
∑(k=1,n)(-1)^k C(n,k) = ∑(k=0,n)(-1)^k C(n,k) - (-1)^0 C(n,0) = 0 - 1 = -1 。
例如:
当 n=1 时,有 ∑(k=1,1)(-1)^k C(1,k) = -C(1,1) = -1 。
当 n=2 时,有 ∑(k=1,2)(-1)^k C(2,k) = -C(2,1)+C(2,2) = -2+1 = -1 。
当 n=3 时,有 ∑(k=1,3)(-1)^k C(3,k) = -C(3,1)+C(3,2)-C(3,3) = -3+3-1 = -1 。
当 n=4 时,有 ∑(k=1,4)(-1)^k C(4,k) = -C(4,1)+C(4,2)-C(4,3)+C(4,4) = -4+6-4+1 = -1 。
当 n=5 时,有 ∑(k=1,5)(-1)^k C(5,k) = -C(5,1)+C(5,2)-C(5,3)+C(5,4)-C(5,5) = -5+10-10+5-1 = -1 。 |