|
楼主 |
发表于 2020-12-2 09:33
|
显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-12-1 23:20 编辑
记\(\,\Gamma_{\mathbf{d}}\)是\(\,\mathbb{R}^3\)的过原点,以\(\,\mathbf{d}\,\)为幺法向量的平面,则点\(\,P\in\mathbb{R}^3\)在\(\,\Gamma_{\mathbf{d}}\)上
的垂直投影\(\;\textbf{Proj}_{\mathbf{d}}(P)=P{\small-}(P\cdot\mathbf{d})\mathbf{d}\,\)是唯一的.叫作\(\,P\,\)的\(\,\mathbf{d}\text{-}\)投影.
\(\textbf{Proj}_{\mathbf{d}}(E)\subset\Gamma_{\mathbf{d}}\,\)叫\(\,3D\)几何对象\(\,E\subset\mathbb{R}^3\)的\(d\text{-}\)投影.对\(\textbf{Proj}_{\mathbf{d}}(E)\,\)的作
图就是数学中默认的\(3D\underset{\,}{\,}\)作图.
易见投影\(\,\textbf{Proj}_{\mathbf{d}}:\mathbb{R}^3\to\Gamma_{\mathbf{d}}\)是线性变换,对应的变换矩阵为\(\,I-\mathbf{d}^T\mathbf{d}\)
\(=(\delta_{ij}-d_id_j)_{3\times 3}.\;\;\)其中\(\,\mathbf{d}=(\cos\alpha \cos\beta,\sin\alpha \cos\beta,\sin\beta).\;\;\alpha\,\)转角,
\(\beta\underset{\,}{\,}\)仰角称谓的直观意义应该很清楚.
我们需要选取\(\,\Gamma_{\mathbf{d}}\,\)上二正交幺向量以建立(二维)坐标系以便解读映
像曲线. 虽然这可以相当任意,但习惯上取\(\,\mathbf{k}\,\)的投影为纵轴方向:
\(\quad\mathbf{j}_*\underset{\,}{=}\textbf{Proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{k})/|\textbf{Proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{k})|=(-\cos\alpha \sin\beta,-\sin\alpha \sin\beta,\,\cos\beta)\)
\(\quad\mathbf{i}_*=\mathbf{j}_*\times\mathbf{d}=(-\sin\alpha,\cos\alpha,0)\)
令\(\,C_{\Gamma}=\begin{bmatrix}-\sin\alpha&\cos\alpha& 0\\-\cos\alpha \sin\beta& -\sin\alpha \sin\beta& \cos\beta \end{bmatrix}\) 则投影变换矩阵是:
\(\quad P_{\mathbf{d}}:=C_{\Gamma}(I{\small-\mathbf{d}^T\mathbf{d}})=\begin{bmatrix}-\sin\alpha&\cos\alpha& 0\\-\cos\alpha \sin\beta& -\sin\alpha \sin\beta& \cos\beta \end{bmatrix}=C_{\Gamma}\)
下面是\(\alpha=\pi/6,\;\beta=\pi/4\) 的精确投影图. 不是示意图. 其中
二椭圆是二圆的投影, 半径分别为\(\,1,\;\frac{1}{2}.\)
|
本帖子中包含更多资源
您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册
x
|