埃拉托斯特尼筛法的抽屉理论

小草

偶数在孪生素数qk与qk+1之间的素数对
   


298
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【1】
5+293
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【1】
17+281
【5】q5=29【1】
29+269
【6】q6=41【2】
41+257
47+251
【7】q7=59【1】
59+239
【8】q8=71【1】
71+227
【9】q9=101【1】
101+197
【10】q10=107【2】
107+191
131+167
【11】q11=137【0】
【12】q12=149【1】
149+149
偶数298跑了12站其中【1】【3】【11】没有乘客
【6】【10】有2对乘客
12-3+2=11
所以D(298)=11



300
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【1】
7+293
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【3】
17+283
19+281
23+277
【5】q5=29【3】
29+271
31+267
37+263
【6】q6=41【1】
43+257
【7】q7=59【3】
59+241
61+239
67+233
【8】q8=71【3】
71+229
73+227
89+211
【9】q9=101【2】
101+199
103+197
【10】q10=107【3】
107+193
109+191
127+173
【11】q11=137【1】
137+163
【12】q12=149【1】
149+151
偶数300跑了12站，其中【1】【3】没有乘客，【9】有2对乘客，【4】【5】【7】【8】【10】有3对素数。
12-2+1+10=21
所以D(300)=21




332
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【0】
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【1】
19+313
【5】q5=29【0】
【6】q6=41【0】
【7】q7=59【1】
61+271
【8】q8=71【0】
【9】q9=101【1】
103+229
【10】q10=107【1】
109+223
【11】q11=137【1】
139+193
【12】q12=149【1】
151+181
偶数332跑了12站，其中【1】【2】【3】【5】【6】【8】没有乘客，其他都有一对乘客
12-6=6
所以D(332)=6



398
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【0】
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【1】
19+379
【5】q5=29【1】
31+367
【6】q6=41【0】
【7】q7=59【2】
61+337
67+331
【8】q8=71【0】
【9】q9=101【0】
【10】q10=107【1】
127+271
【11】q11=137【0】
【12】q12=149【1】
157+241
【13】q13=179【0】
【14】q14=191【0】
【15】q15=197【1】
199+199
偶数398跑过15个站，其中【1】【2】【3】【6】【8】【9】【11】【13】【14】没有乘客，【7】有2对乘客，其他都有一对乘客
15-9+1
所以D(398)=7


488
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【0】
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【0】
【5】q5=29【1】
31+457
【6】q6=41【0】
【7】q7=59【1】
67+421
【8】q8=71【1】
79+409
【9】q9=101【0】
【10】q10=107【1】
109+379
【11】q11=137【1】
139+349
【12】q12=149【2】
151+337
157+331
【13】q13=179【1】
181+307
【14】q14=191【0】
【15】q15=197【1】
211+277
【16】q16=227【0】
【17】q17=239【0】
偶数488跑过17个站，其中【1】【2】【3】【4】【6】【9】【14】【16】【17】没有乘客，【12】有2对乘客。
17-9+1=9
所以D(488)=9




632
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【0】
【3】q3=11【1】
13+619
【4】q4=17【1】
19+613
【5】q5=29【1】
31+601
【6】q6=41【0】
【7】q7=59【1】
61+571
【8】q8=71【0】
【9】q9=101【0】
【10】q10=107
109+523
【11】q11=137【0】
【12】q12=149【0】
【13】q13=179【0】
【14】q14=191【1】
193+439
【15】q15=197【3】
199+433
211+421
223+409
【16】q16=227【0】
【17】q17=239【0】
【18】q18=269【0】
【19】q19=281【1】
283+349
【20】q20=311【0】
偶数632跑过20站，其中【1】【2】【6】【8】【9】【11】【12】【13】【16】【17】【18】【20】没有乘客，【15】有3个乘客，其他的都是一个乘客。
20-12+2=10
所以D(632)=10




692
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【0】
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【1】
19+673
【5】q5=29【1】
31+661
【6】q6=41【0】
【7】q7=59【1】
61+631
【8】q8=71【2】
73+619
79+613
【9】q9=101【0】
【10】q10=107【0】
【11】q11=137【0】
【12】q12=149【1】
151+541
【13】q13=179【0】
【14】q14=191【1】
193+499
【15】q15=197【0】
【16】q16=227【1】
229+463
【17】q17=239【0】
【18】q18=269【1】
271+421
【19】q19=281【1】
283+409
【20】q20=311【1】
313+379
偶数692跑过了20个站，其中【1】【2】【3】【6】【9】【10】【11】【13】【15】【17】没有乘客，【8】有2对乘客，其他的都有一对乘客。
20-10+1=11
所以D(692)=11


992
【1】q1=3【0】
【2】q2=5【0】
【3】q3=11【0】
【4】q4=17【0】
【5】q5=29【0】
【6】q6=41【0】
【7】q7=59【0】
【8】q8=71【1】
73+919
【9】q9=101【0】
【10】q10=107【1】
109+883
【11】q11=137【1】
139+853
【12】q12=149【1】
163+829
【13】q13=179【1】
181+811
【14】q14=191【0】
【15】q15=197【1】
223+769
【16】q16=227【0】
【17】q17=239【1】
241+751
【18】q18=269【0】
【19】q19=281【1】
283+709
【20】q20=311【1】
331+661
【21】q21=347【3】
349+643
373+619
379+613
【22】q22=419【1】
421+571
【23】q23=431【0】
【24】q24=461【0】
偶数992跑过了24个站，其中【1】【2】【3】【4】【5】【6】【7】【9】【14】【16】【18】【23】【24】没有乘客，【21】有3对乘客，其他的都有一对乘客。
24-13+2=13
所以D(992)=13

小草

我们令h(x)为D(x)的下界，根据素数定理，π(x)=x/lnx,如果按照(x/lnx)/lnx=x/(lnx)^2,对于2n中p+(2n-p)的素数对，其中1/2是重复的，所以D(2n)应为0.5*2n/(lnx)^2,但是在第2次筛法中素数2始终整除2n,所以是不用筛的。所以应当0.5+a*2n/(lnx)^2,我们略去a应该是D(x)的下界。


我们有
0.5*12/(ln12)^2=0.9716975189  
D(12)=1

0.5*68/(ln68)^2=1.9096569091
D(68)=2

0.5*128/(ln128)^2=2.7185227507
D(128)=3

0.5*152/(ln152)^2=3.0111680076  
D(152)=4

0.5*188/(ln188)^2=3.4281140707
D(188)=5

0.5*332/(ln332)^2=4.9258756594
D(332)=6

0.5*398/(ln398)^2=5.5528260188
D(398)=7

0.5*488/(ln488)^2=6.3674313487
D(488)=9

0.5*632/(ln632)^2=7.5983138098
D(632)=10

0.5*692/(ln692)^2=8.0905043151
D(692)=11

0.5*992/(ln992)^2=10.4188156005
D(992)=13

0.5*1112/(ln1112)^2=11.3019592180
D(1112)=16

0.5*1412/(ln1412)^2=13.4213993359
D(1412)=18

0.5*1448/(ln1448)^2=13.6685295091
D(1448)=20

0.5*1718/(ln1718)^2=15.4812847293
D(1718)=21

0.5*2048/(ln1718)^2=17.6142300539
D(2048)=25

0.5*2252/(ln2252)^2=18.8952099688
D(2252)=26

0.5*2672/(ln2672)^2=21.4579547143
D(2672)=28

0.5*2936/(ln2936)^2=23.0248919949
D(2936)=31

0.5*2978/(ln2978)^2=23.2714005264
D(2978)=34

0.5*3092/(ln3092)^2=23.9368863261
D(3092)=35

0.5*3218/(ln3218)^2=24.6665267111
D(3218)=37

0.5*3272/ln3272=24.9774098971
D(3272)=38

小草

利用取小孪生素数得到连续偶数


3+3=6
3+5=8
5+5=10
5+7=12
7+7=14

3+11=14
5+11=16
7+11=18
7+13=20

3+17=20
5+17=22
7+17=24
7+19=26

3+23=26
5+23=28
7+23=30

11+19=30
13+19=32

3+31=34
5+31=36
7+31=38

19+19=38

3+37=40
5+37=42
7+37=44

3+41=44
5+41=46
7+41=48
7+43=50

3+47=50
5+47=52
7+47=54

11+43=54
13+43=56

3+53=56
5+53=58
7+53=60

17+43=60
19+43=62

3+59=62
5+59=64
7+59=66
7+61=68

3+67=70
5+67=72
7+67=74

3+71=74
5+71=76
7+71=78
7+73=80

3+79=82
5+79=84
7+79=86

3+83=86
5+83=88
7+83=90

11+79=90
13+79=92

3+89=92
5+89=94
7+89=96

17+79=96
19+79=98

3+97=100
5+97=102
7+97=104

3+101=104
5+101=106
7+101=108
7+103=110

3+107=110
5+107=112
7+107=114
7+109=115

3+113=116
5+113=118
7+113=120

11+109=120
13+109=122

11+113=124
13+113=126

17+109=126
19+109=128

3+127=130
5+127=132
7+127=134

3+131=134
5+131=136
7+131=138

11+127=138
13+127=140

3+137=140
5+137=142
7+137=144

5+139=144
7+139=146

11+137=148
13+137=150

11+139=150
13+139=152

3+149=152
5+149=154
7+149=156
7+151=158

小草

现在我们来研究一下，这些列车得到的第一对素数必不大于什么数？
我们有


6=3+3
12=5+7
30=7+23
98=19+79
220=23+197
308=31+277
556=47+509
992=73+919
2642=103+2539
5372=139+5233
7426=173+7253


我们来分析它们所跑过的路程t和它们路程的总长度2n之比。如果t/2n>1,那么素数对不存在，因为素数对p+(2n-p)不可能大于2n;如果t/2n<1，那么在不大于2n*(t/2n)中必然存在一个素数p使得p和(2n-p)都是素数。


我们有
【t】【】【2n】 【t/2n】  
【3】6=3+3【6】【0.5】
【5】12=5+7【12】【0.41667】
【7】30=7+23【30】【0.23334】
【19】98=19+79【98】【0.19388】
【23】220=23+197【220】【0.10455】
【31】308=31+277【308】【0.10065】
【47】556=47+509【556】【0.08454】
【73】992=73+919【992】【0.07359】
【103】2642=103+2539【2642】【0.03899】
【139】5372=139+5233【5372】【0.02588】
【173】7426=173+7253【7426】【0.0231】
可知当偶数愈来愈大时它们的比值愈来愈小，得到快速的收敛，小到可以接近零。所以当偶数大于7426时，在不大于2n*0.0231中必然存在一个素数p使得p和(2n-p)都是素数。

小草

现在我们设定a2n/(ln2n)^2为这些列车到达设定的站点t,t-m为它们实际到达的站点，设定
b2n/(ln2n)^3=m.
那么可以肯定如果b是发散的，那么m可能会大于a2n/(ln2n)^2,即a2n/(ln2n)^2-b2n/(ln2n)^3小于或等于0，它们实际到达的站点为0，即D(2n)=0.如果b是收敛的,那么a2n/(ln2n)^2一定大于m，它们实际到达的站点为t-m,(t-m)>0.


     根据自然数筛法,我们裁下一段经过筛法定位的自然数4*qk^2，我们知道在这一段经过筛法定位的自然数中存在k个孪生素数，根据筛法判断
D(4*qk^2)≈∑1,k.(q≠q+2)qk.
     我们把∑1,k.(q≠q+2)qk作为主项的来源得到主项ck*(x/(lnx)^2)，x的取值范围是4*qk^2到（4*qk+1^2)-2.其中ck=(ln(4*qk^2))^2/(4*qk^2/∑1,k.(q≠q+2)qk).余项就是
ck*(x/(lnx)^2)-D(x)=H(x)，H(x)可以是正的，也可以是负的，这里我们只取正的.


因为
x/(lnx)^3一定小于x/(lnx)^2,我们设H(x)=h(x)*(x/(lnx)^3).如果h(x)是一个常数，那么
ck*(x/(lnx)^2)-h(x)*(x/(lnx)^3)肯定是递增的.如果h(x)有一个最大值，那么当x达到一定值时(∑1,k.(q≠q+2)qk)-h(x)*(x/(lnx)^3)肯定也是递增的.
     在D(x)的下界中ck*(x/(lnx)^2)-h(x)*(x/(lnx)^3)的h(x)值我们取其最大的.当x=2672时有一个h(x)的最大值h(x)=7.0745784741，7.0745784741*(167-1/167-2)=7.1174547076,我们取一个比它大的整正数7.2.


     从而我们得到这样一个当x>2672时有一个永不为零的递增函数
(ck*(x/(lnx)^2)-(7.2*（x/(lnx)^3).
一般的有(ck*(x/(lnx)^2)-(7.2*（x/(lnx)^3)*∏[p∣x][p≤√x]p-1/p-2.
     因为当x趋向无穷时h(x)是趋向零的，所以一般的可以用
D(x)≈ck*(x/(lnx)^2)*∏[p∣x]p-1/p-2来得到，而且当x趋向无穷时，
它是比(ck*(x/(lnx)^2)-(7.2*（x/(lnx)^3))*∏[p∣x][p≤√x]p-1/p-2更加接近D(x)的函数。

小草

最后我们定义D(x)≈ck*(x/(lnx)^2)*∏[p∣x][p≤√x]p-1/p-2
这时当x趋向无穷时，ck一定是一个不为0的常数。
根据素数定理，π(x)=x/lnx,如果按照(x/lnx)/lnx=x/(lnx)^2,对于2n中p+(2n-p)的素数对，其中1/2是重复的，所以D(2n)应为0.5*2n/(lnx)^2,但是在第2次筛法中，p+(2n-p)中都是奇数不存在被素数2整除的自然数,所以应当(0.5+a)*2n/(lnx)^2.
我们有

q1=3
【∑[k=1,1.q≠q+2]qk】=3
4*3^2=36
(ln36)^2=12.8416079826
36/3=12
12.8416079826/12=1.0701339985
c1=1.0701339985

q2=5
【∑[k=1,2.q≠q+2]qk】=8
4*5^2=100
(ln100)^2=21.2075924420
100/8=12.5
12.5/21.2075924420/12.5=1.6966073952
c2=1.6966073952

q3=11
【∑[k=1,3.q≠q+2]qk】=19
4*11^2=484
(ln484)^2=38.2181737936
484/19=25.4736842105
38.2181737936/25.4736842105=1.5003002109
c3=1.5003002109

q4=17
【∑[k=1,4.q≠q+2]qk】=36
4*17^2=1156
(ln1156)^2=49.7408741978
1156/36=32.1111111111
49.7408741978/32.1111111111=1.5490237638
c4=1.5490237638

q5=29
【∑[k=1,5.q≠q+2]qk】=65
4*29^2=3364
(ln3364)^2=65.9487897677
3364/65=51.7538461538
65.9487897677/51.7538461538=1.2742780426
c5=1.2742780426

q6=41
【∑[k=1,6.q≠q+2]qk】=106
4*41^2=6724
(ln6724)^2=77.6766980963
6724/106=63.4339622642
77.6766980963/63.4339622642=1.2245285541
c6=1.2245285541

q7=59
【∑[k=1,7.q≠q+2]qk】=165
4*59^2=13924
(ln13924)^2=91.0377271439
13924/165=84.3878787879
91.0377271439/84.3878787879=1.0788009896
c7=1.0788009896

q8=71
【∑[k=1,8.q≠q+2]qk】=236
4*71^2=20164
(ln20164)^2=98.2408872994
20164/236=85.4406779661
98.2408872994/85.4406779661=1.1498139953
c8=1.1498139953

q9=101
【∑[k=1,9.q≠q+2]qk】=337
4*101^2=40804
(ln40804)^2=112.7108237890
40804/337=121.0801186944
112.7108237890/121.0801186944=0.9308780418
c9=0.9308780418

q10=107
【∑[k=1,10.q≠q+2]qk】=444
4*107^2=45796
(ln45796)^2=115.1747943742
45796/444=103.1441441441
115.1747943742/103.1441441441=1.1166391979
c10=1.1166391979

【】【】【】【】【】【】【】【】

q100=3821
【∑[k=1,100.q≠q+2]qk】=163992
4*3821^2=58400164
(ln58400164)^2=319.7955821992
58400164/163992=356.1159324845
319.7955821992/356.1159324845=0.8980097576
c100=0.8980097576

q1000=79559
【∑[k=1,1000.q≠q+2]qk】=34354616
4*79559^2=25318537924
(ln25318537924)^2=573.8325718498
25318537924/34354616=736.9763039703
573.8325718498/736.9763039703=0.7786309665
c1000=0.7786309665

q10000=1260989
【∑[k=1,10000.q≠q+2]qk】=5778153630   
4*1260989^2=6360373032484
(ln6360373032484)^2=869.13573742575
6360373032484/5778153630=1100.7621880216432
869.13573742575/1100.7621880216432=0.78957630166041
c10000=0.78957630166041

q20000=2840417
【∑[k=1,20000.q≠q+2]qk】=26094675212
4*2840417^2=32271874935556
(ln32271874935556)^2=967.5345384154
32271874935556/26094675212=1236.7226138425
967.5345384154/1236.7226138425=0.7823375489
C20000=0.7823375489

q30000=4553411
【∑[k=1,30000.q≠q+2]qk】=62962539862
4*4553411^2=82934206939684
(ln82934206939684)^2=1027.1428059411
82934206939684/62962539862=1317.1991968789
1027.1428059411/1317.1991968789=0.7797930703
C30000=0.7797930703

q40000=6381467
【∑[k=1,40000.q≠q+2]qk】=117627491884
4*6381467^2=162892484288356
(ln162892484288356)^2=1070.8674730390
162892484288356/117627491884=1384.8164377167
1070.8674730390/1384.8164377167=0.7732920002
C40000=0.7732920002

q50000=8264957
【∑[k=1,50000.q≠q+2]qk】=190879246815
4*8264957^2=273238056847396
(ln273238056847396)^2=1104.9883160956
273238056847396/190879246815=1431.4707408303
1104.9883160956/1431.4707408303=0.7719251848
C50000=0.7719251848

q60000=10196441
【∑[k=1,60000.q≠q+2]qk】=283129259045
4*10196441^2=415869636265924
(ln415869636265924)^2=1133.0893755161
415869636265924/283129259045=1468.8331317952
1133.0893755161/1468.8331317952=0.7714214440
C60000=0.7714214440

小草

c1=1.0701339985
1.0701339985*36/(ln36)^2=3
D(36)=4

c2=1.6966073952
1.6966073952*100/(ln100)^2=8
D(100)=6

c3=1.5003002109
1.5003002109*484/(ln484)^2=19
D(484)=14

c4=1.5490237638
1.5490237638*1156/(ln1156)^2=36
D(1156)=22

c5=1.2742780426
1.2742780426*3364/(ln3364)^2=65
D(3364)=47

c6=1.2245285541
1.2245285541*6724/(ln6724)^2=106
D(6724)=71

c7=1.0788009896
1.0788009896*13924/(ln13924)^2=165
D(13924)=131

c8=1.1498139953
1.1498139953*20164/(ln20164)^2=236
D(20164)=175

c9=0.9308780418
0.9308780418*40804/(ln40804)^2=337
D(40804)=309

c10=1.1166391979
1.1166391979*45796/(ln45796)^2=444
D(45796)=333

小草

c100=0.8980097576
0.8980097576*58400164/(ln58400164)^2=163992
D(58400164)=?

c1000=0.7786309665
0.7786309665*25318537924/(ln25318537924)^2=34354616
D(25318537924)=?

c10000=0.78957630166041
0.78957630166041*6360373032484/(ln6360373032484)^2=5778153630
D(6360373032484)=?

C20000=0.7823375489
0.7823375489*32271874935556/(ln32271874935556)^2=26094675212
D(32271874935556)=?

C30000=0.7797930703
0.7797930703*82934206939684/(ln82934206939684)^2=62962539862
D(82934206939684)=?

C40000=0.7732920002
0.7732920002*162892484288356/(ln162892484288356)^2=117627491884
D(162892484288356)=?

C50000=0.7719251848
0.7719251848*273238056847396/(ln273238056847396)^2=190879246815
D(273238056847396)=?

C60000=0.7714214440
0.7714214440*415869636265924/(ln415869636265924)^2=283129259045
D(415869636265924)=?


做到这里C60000=0.7714214440，还是非常大，估计常数小于0.66016118158
不会编程的我只能做到这里了！
望大侠们继续吧！

小草

　q是指一对孪生素数中取小的一个。如第一对孪生素数3,5取3；第二对孪生素数5,7取5；第三对孪生素数11,13取11，以下类推。



   q1=3
　D(4*3^2)≈3
　D(36)=4

   q2=5
   D(4*5^2)≈3+5=8
　D(100)=6

   q3=11
　D(4*11^2)≈3+5+11=19
　D(484)=14

小草

q4=17
D(4*17^2)≈3+5+11+17=36
D(1156)=22


q5=29
D(4*29^2)≈3+5+11+17+29=65
D(3364)=47


q6=41
D(4*41^2)≈3+5+11+17+29+41=106
D(6724)=71