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驳阿贝尔的(5,5)和(5,6)构形论

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发表于 2020-11-23 17:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

驳阿贝尔的(5,5)和(5,6)构形论
雷  明
(二○二○年十一月二十三日)

无双环交叉链的5—轮构形,坎泊早在1879年已经证明都是可约的,而只有含有双环交叉链的5—轮构形还没有证明是否可约。在1890年赫渥特构造了含有双环交叉链的5—轮赫渥特图以后,在1976年阿贝尔证明之前,可能还没有人证明这一类含有双环交叉链的5—轮构形是可约的,当然阿贝尔也是不能证明的。
正因为阿贝尔自已不能证明5—轮构形是可约的,所以他就构造了一个(5,5)构形和(5,6)构形,用此来代替5—轮构形,并且认为这两个构形都是不可避免的构形。只有证明了这两个构形都是可约的时,再加上坎泊的证明,才能说明四色猜测是正确的。但事实是怎么呢?请看:
1、阿贝尔证明了四色猜测的说法是错误的
先不管阿贝尔引用(5,5)和(5,6)构形是否正确,先看一看阿贝尔在他的《四色地图问题的解决》一文中的说法:前面说这两个构形是不可避免的,后边又说这两个构形是不可约的。这就是说,连不可避免的构形也不可约,当然四色猜测就是不正确的了。但阿贝尔在文中却既不说四色猜测正确,也不说四色猜测不正确,并不说他们证明的结论是什么,而只说他们(的团队)“证明了”四色猜测和“解决了”四色问题。给人们的印象就是他们经过证明认为四色猜测是正确的。所以才有了美国阿贝尔当时居住地的邮局为此还特别制作了一枚标有“四色足矣!”字样的邮戳以作纪念的这回事。现在数学界还都认为阿贝尔证明了四色猜测是正确的,这是错误的。
2、阿贝尔并没有证明(5,5)和(5,6)构形是不可避免的
不可避免构形是要经过证明的,不是只说说而已。平面图的不可避免构形集,是由轮幅数小于等于5的轮构形构成的。这是因为任何极大平面图中至少都含有一个顶点的度是小于等于5的,而不是随便说的。而阿贝尔却因为不能证明5—轮构形是可约的,就凭空想象一个(5,5)构形(即两个不可避免的5—轮构形的待着色顶点相邻)和一个(5,6)构形(也即一个不可避免的5—轮构形和一个可以避免的6—构形的待着色顶点相邻),并认为都是不可避免的。证明了没有呢?没有看到。请问,(5,6)构形能成为不要避免构形,为什么(5,7)构形,(6、7)构形又不能成为不可避免构形呢?平面图中5—度顶点与7度顶点相邻,6度顶点与7—度顶点相邻不都是很平常的事嘛!难怪他们不能证明(5,5)构形和(5,6)构形也都是可约的。
3、双待着色顶点的构形也只能是先对一个待着色顶点着色
对于(5,5)和(5,6)构形,各先对一个待着色顶点着色后,(5,5)构形不就成了一个5—轮构形了吗?(5,6)构形也不就成了一个5—轮构形或6—轮构形了吗?6—轮构形是可以避免的,最后不还都是只剩下了一个5—轮构形了吗?5—轮构形能被别的所谓构形代替得了吗?不知阿贝尔先生是如何想这个问题的?难道能一次对两个顶点或两个以上的顶点着色吗?我想,着色时总是得一个顶点,一个顶点的去着色,绝对不可能一次对两个以上的顶点同时着色。另外,若存在两个以上待着色顶点的不可避免构形,那么,不可避免的构形不就成了无限多的了吗?能证明完它们都是可约的吗?所以,构形只是能有一个待着色顶点的。
4、证明四色猜测最后还是得要对5—轮构形是否可约进行证明
既然对(5,5)和(5,6)构形的一个待着色顶点着色后,构形就都转化成了5—轮构形,就可以只对5—轮构形寻求可约性了。无双环交叉链时,坎泊已证明都是可约的了。在有双环交叉链时,可以先看是否可以连续的移去两个同色解决问题。若不能,则再看有无经过了构形围栏顶点的环形链:若有时,用断链交换法进行解决;若无有时,用转型交换法进行解决,一定是可以在有限的4次转型之内,使构形转化成可以连续的移去两个同色的可约构形(即可以在有限的5次转型之内,使构形转化成只有一条连通链的可约构形),且在转型中途也可能转化成有经过了围栏顶点的环形链的构形,可以改用断链交换法进行处理,以尽早结束转型的,使问题得到解决。
5、把(5,5)构形转化成5—轮构形
(5,5)构形的围栏顶点已占用完了四种颜色的情况只可能有两种(如图1,a和图1,b),两个待着色顶点都不可能直接着上四种颜色之一。若在两图的3、6顶点间没有连通的A—D色链时,把顶点6改成D色(如图1,c)或者把顶点3改成A色(如图1,d),把任一个待着色顶点(如V2)着上A色(如图1,c)或D色(如图1,d)后,(5,5)构形就都转化成了一个以V1为中心的5—轮构形了。
图1,a中,若在3、6顶点间有连通的A—D链时(如图2,a),顶点2、6间的A—C链和顶点1、3间的B—D链总有一条是不连通的,从不连通链的任一个顶点(如B—D链的3D顶点)开始交换B—D链(如图2,b。这一交换就使得顶点3、6间就不再有连通的A—D链了),这种交换也有可能连续交换到顶点5,使顶点5由B色变成了D色(如图2,c)。这两种情况都可使与待着色顶点V2相邻的顶点的颜色数减少一种D,都可把D给V2着上,(5,5)构形也就转化成了一个以V1为中心的5—轮构形了(如图2,b和图2,c)。


在上一步中,若不从顶点3D交换B—D链,而从顶点1交换B—D链(如图3,b),这种交换也可能要连续交换到顶点5(如图3,c。这一交换就使得从顶点3到顶点6的连通链A—D就断开了),使顶点5也由B色变成了D色。这两种情况都可使与待着色顶点V2相邻的顶点的颜色数减少一种B,都可把B给V2着上,(5,5)构形也就转化成了一个以V1为中心的5—轮构形了(如图3,b和图3,c)。

图1,b中,若在3、6顶点间有连通的A—D链时,同样的操作,分别可以得到图4,b和图4,c的两个以V1为中心顶点的5—轮构形。
6、把(5,6)构形转化成5—轮构形
(5,6)构形的围栏顶点已占用完了四种颜色的情况只可能有一种(如图5,a),两个待着色顶点都不可能直接着上四种颜色之一。顶点2、6间的A—C链和顶点3、7间的B—D链总有一条是不连通的,从不连通链的任一个顶点(如B—D链的3D顶点)开始交换B—D链(如图5,b),这种交换也有可能连续交换到顶点5,使顶点5由B色变成了D色(如图5,c)。这两种情况都可使与待着色顶点V2相邻的顶点的颜色数减少一种D,都可把D给V2着上,(5,6)构形也就转化成了一个以V1为中心的5—轮构形了(如图5,b和图5,c)。



对图5,a若不从顶点3D交换B—D,而从顶点7B交换B—D,则还可以分别得到图6的两种以V1为中心顶点的5—轮构形。
从以上的(5,6)构形可以转化成5—轮构形还可以看出,任何极大平面图的着色中,一定是可以找到度是小于等于5的顶点作为待着色顶点的,因为图中就已存在着度是小于等于5的顶点的。
7、计算机能否证明四色猜测?
计算机作为一种计算工具来说,人是用它来代替人做事的,解决问题的。但人还不会做的事,不能解决的问题,就不可能指挥计算机去做了,去解决了。所以说,人还不能证明是对还是错的的命题,人也是不会指挥让计算机代替人去证明的。对于四色猜测来说,本身就是通过对大量的图的着色,才提出来的。这说明人是会着色的,但人不可能把所有的图都着色完,当然就不能说四色猜测这一命题就是正确的;计算机虽比人着色快得多,同样也不可能把所有的图都着色完,同样也得不出四色猜测这一命题是否正确的结论。只所以计算机会着色,那是人把着色的方法编成了程序,让计算机去执行。人不会证明,同样也就不会把证明的方法也编成程序让计算机去执行了。所以四色猜测只能用手工去证明,一但证明得出四色猜测是正确还是不正确的结论,就不再需要证明了,就只是应用的问题了。以后就只是把证明的方法和着色的方法一代一代的传下去就是了。
阿贝尔的计算机证明得到了什么对论呢?没有。四色猜测道底是正确还是不正确呢?也没有得出结论。相反,阿贝尔却构造了不可避免的(5,5)和(5,6)构形,但又说这两个构形都是不可约的。不可避免构形也不可约,那四色猜测当然就是不正确的了。但阿贝尔又不敢这么说,只得含乎的说他们“证明了”四色猜测,“解决了”四色问题等等。我认为计算机解决具体问题时,结论是准确的;但解决了大量的同类问题时,得出的结论可以说只能是模糊的,是一个概率性的结论。如果说,计算机能证明四色猜测,那么也只能是计算机着过色的图比人手工着过色的图要多得多,可以认为是无限的,因为着色结果都是可4—着色的,也就认为四色猜测是正确的。但是一定要记得,这只是一个大概率事件,计算机也并没有把所有的图都着色完的。

雷  明
二○二○年十一月二十三日于长安

注:此文已于二○二○年十一月二十三日在《中国博士网》上发表过,网址是:

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