平面上三圆一直线两两外切，求小圆半径 c 与两大圆半径 a,b 的关系

elim

题：平面上三圆一直线两两外切. 求半径关系\(\,c=c(a,b)\le\min(a,b).\)

elim

答案: \(c = \dfrac{ab}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)

波斯猫猫

思路：如图，显然AC=√【（a+c）＾2-（a-c）＾2】=√（4ac），BC=√【（b+c）＾2-（b-c）＾2】=√（4bc），AB=√【（a+b）＾2-（b-a）＾2】=√（4ab）。从而√（ac）+√（bc）=√（ab）.

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-23 14:34
思路：如图，显然AC=√【（a+c）＾2+（a-c）＾2】=√（4ac），BC=√【（b+c）＾2+（b-c）＾2】=√（4bc）， ...

3楼看着挺费眼睛的，我来重写一遍。

\(AC=\sqrt{(a+c)^2-(a-c)^2}=\sqrt{4ac}\)
\(BC=\sqrt{(b+c)^2-(b-c)^2}=\sqrt{4bc}\)
\(AB=\sqrt{(b+a)^2-(b-a)^2}=\sqrt{4ab}\)
\(\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}=\sqrt{4ab}\)
\(\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=\sqrt{ab}\)
\(\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(c=\frac{ab}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)

下面的7行，每行最后加个小括号 ) 就会变成上面的7行。

\(AC=\sqrt{(a+c)^2-(a-c)^2}=\sqrt{4ac}\
\(BC=\sqrt{(b+c)^2-(b-c)^2}=\sqrt{4bc}\
\(AB=\sqrt{(b+a)^2-(b-a)^2}=\sqrt{4ab}\
\(\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}=\sqrt{4ab}\
\(\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=\sqrt{ab}\
\(\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\
\(c=\frac{ab}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-23 14:34
思路：如图，显然AC=√【（a+c）＾2+（a-c）＾2】=√（4ac），BC=√【（b+c）＾2+（b-c）＾2】=√（4bc）， ...

下面的7行，每行前面加“\”也会变成上面的7行。

(AC=\sqrt{(a+c)^2-(a-c)^2}=\sqrt{4ac}\)
(BC=\sqrt{(b+c)^2-(b-c)^2}=\sqrt{4bc}\)
(AB=\sqrt{(b+a)^2-(b-a)^2}=\sqrt{4ab}\)
(\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}=\sqrt{4ab}\)
(\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=\sqrt{ab}\)
(\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
(c=\frac{ab}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。

elim

更漂亮的关系：\(\dfrac{1}{\sqrt{c}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

王守恩

elim 发表于 2020-11-23 22:04
更漂亮的关系：\(\dfrac{1}{\sqrt{c}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b}}\)

\(AC=\sqrt{(a+c)^2-(a-c)^2}=\sqrt{4ac}\)
\(BC=\sqrt{(b+c)^2-(b-c)^2}=\sqrt{4bc}\)
\(AB=\sqrt{(b+a)^2-(b-a)^2}=\sqrt{4ab}\)
\(\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}=\sqrt{4ab}\)
\(\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=\sqrt{ab}\)
\(\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\)

永远

帖吧很多年前的老贴了，路过

elim

前两天看到数学研发论坛上在热议这题．甚是好玩．

\(a^2+b^2=c^2, \;\;{\small\dfrac{1}{\sqrt{a}}}+{\small\dfrac{1}{\sqrt{b}}}={\small\dfrac{1}{\sqrt{c}}}\)
好像上下联，有些神秘感．