xln(x) 在 x=1 的泰勒级数展开式是怎么求出来的？

wintex

xlnx 在x= 1 的泰勒展開式是怎麼求出來的

elim

\(\because\;\;\ln x = \ln(1+(x-1))\),
\(\therefore\;\;\displaystyle x\ln x=(1+(x-1))\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}\)
\(\qquad\qquad=(x-1)+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n(n-1)}(x-1)^n\)

wintex

elim 发表于 2020-11-22 13:00
\(\because\;\;\ln x = \ln(1+(x-1))\),
\(\therefore\;\;\displaystyle x\ln x=(1+(x-1))\sum_{n=1}^\inf ...

第二行怎麼來的，第三行也是，請問老師

luyuanhong

elim

wintex 发表于 2020-11-22 04:00
第二行怎麼來的，第三行也是，請問老師

Taylor 定理的证明解释了一般解析函数是怎么展开成Taylor 级数的。我对主贴的问题的解法就不重复 Taylor 定理了， 而是把所论函数表达成已知其Taylor 展开式的函数的代数组合，将相应的展开式代入并化简成一个幂级数，后者恰为所求。