何为虚数？以及关于它的 5 个数学事实

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何为虚数？以及关于它的 5 个数学事实



翻译: 方正Michael  后期: 公理  来源：遇见数学
英文: https://sourl.cn/eycDTv

有时候，人类科学的发展需要超越传统的思维方式。

在 20 世纪早期，物理学上的两次革命——爱因斯坦的相对论（首先是狭义的，然后是广义的）和量子力学——带来了对数学的需求，而所需要的工具仅用实数是满足不了的。从那时起，由实部和虚部组成的复数就与我们对宇宙的理解不可分割地纠缠在一起。

从数学上讲，当我们想到数字时，可以想到几种不同的分类方法：

可数数字：1、2、3、4、… 等。这样的数字有无数个。

自然数：0、1、2、3、… 等。这些数与可数数相同，但同时包括零。

整数：… 、3、2、1、0、1、2、3、… 等。这看起来可能不多，但认识到我们可以有负数是一个巨大的突破，而且负数和正数一样多。整数包括所有的自然数和它们的负数。

有理数：可以表示为一个整数除以另一个整数的任何数字。这包括所有的整数(可以表示为它们本身除以 1)以及每个整数之间无穷多的有理数。任何无限循环的小数都可以用有理数来表示。

实数：包括所有的有理数以及所有的无理数，比如非完全平方的平方根，，以及其他的无理数。任何有理数和任何无理数的和都是无理数，但两个无理数的和可能是有理数。

但是，尽管正数的平方根是实数，负数的平方根却没有明确的定义。至少，它还未被定义，直到数学家并发明了虚数来进行定义！



虚数和实数没什么两样，不过是实数概念的延伸，有个虚数单位 i，或者说 √-1 。任一复数其中既有实部(a)也有虚部(b)，通常用(a+bi)表示，复数直接同样可以进行加减乘除，总而言之，复数系统是一个域。现在你知道它们是什么了，下面 5 个是我认为关于虚数最有趣的事实！

1. i 的平方根既有实部也有虚部



2. i 的任意根有多个不相同的解，N 次根有 N 个不相同的解




(尝试把它们立方，然后自己动手尝试下吧！)这甚至还没有涉及更复杂点的分数，请继续往下看……

3. 分子或分母？



4. e、π 和 i 都是彼此关联的

在数学中，我们可以用极坐标来表示二维坐标空间，其中有一个距离原点的径向坐标(r)和一个极角(θ)，就像下图所示这样：


▲ 极坐标与直角坐标之间的关系，图自维基

如果你不用 x 轴和 y 轴，而是用复平面(complex plane)中水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的几何表示，这样也可以解释复数，只不过角度 θ 可以带你在实平面与虚平面之间转换，比如利用下面图形中的欧拉公式：


▲ 欧拉公式，图自维基

令人惊奇的是，如果我们在实轴上定位到 -1 的位置，会得到一个漂亮的恒等式，如下图中间的欧拉恒等式：


▲ 图自 2021数学台历 | "简单数学史"



上面的欧拉公式会在复分析中经常出现，因为它把三角函数与复指数函数联系起来。现在看最后一个事实，也是很有意思的。

5. i 的 i 次方



以上就是关于虚数的 5 个有趣的数学事实！