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求和 \(\displaystyle\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot 2^n}{(n+2)\cdot 3^{n+1}}\)

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发表于 2020-11-16 23:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
题: 求和 \(\displaystyle\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot 2^n}{(n+2)\cdot 3^{n+1}}\)
 楼主| 发表于 2020-11-17 01:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-11-21 18:46 编辑

题:求和 \(\displaystyle\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot 2^n}{(n+2)\cdot 3^{n+1}}\)
解:\(\displaystyle\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot 2^n}{(n+2)\cdot 3^{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{2^n}{3^{n+1}}-\frac{2^{n+1}}{(n+2)3^{n+1}}\big)\)
\(\quad\;\displaystyle={\small\frac{2}{3}-\frac{3}{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\large\frac{2}{3}}x^{n+1}dx={\small\frac{2}{3}-\frac{3}{2}}\int_0^{\large\frac{2}{3}}\frac{x^2}{1-x}dx={\small 2-\frac{3}{2}}\ln 3.\;\;\;\small\square\)



===========================
\(\displaystyle\int_0^{2/3}\frac{x^2}{1-x}dx=\int_0^{2/3}\big(-1-x+\frac{1}{1-x}\big)dx\)
\(=\big[-x-x^2/2-\ln(1-x)\big]_0^{2/3}=-8/9+\ln 3\)
\(\therefore\;\;\displaystyle{\small\frac{2}{3}-\frac{3}{2}}\int_0^{2/3}{\small\frac{x^2}{1-x}}dx={\small\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-\frac{3}{2}}\ln 3=2-{\small\frac{3}{2}}\ln 3\)

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发表于 2020-11-17 09:17 | 显示全部楼层
楼上 elim 的帖子很好!已收藏。
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发表于 2020-11-18 15:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-21 12:59 编辑

从简单说起。

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}
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 楼主| 发表于 2020-11-18 16:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2020-11-18 01:15 编辑

\(\displaystyle\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}=\frac{a}{a+1}\frac{a+1}{a+1-a}=a\;(a>0)\)

\(\displaystyle\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+b)^n}=\frac{a}{a+b}\frac{a+b}{a+b-a}=\frac{a}{b}\;(a,b>0)\)

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发表于 2020-11-19 19:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-19 20:12 编辑
elim 发表于 2020-11-18 16:12
\(\displaystyle\small\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}=\frac{a}{a+1}\frac{a+1}{a+1-a}=a\;(a>0)\ ...

从简单说起。

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n+1}}{(a+1)^n}\), {a, 1, 24}]
{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576}

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+1)^n}\), {a, 1, 15}]
{1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15}

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(2a+1)^n}\), {a, 1, 15}]
{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 9/10, 10/11, 11/12, 12/13, 13/14, 14/15, 15/16}
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发表于 2020-11-19 19:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-19 20:27 编辑
王守恩 发表于 2020-11-19 19:11
从简单说起。

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(a+1)^n}\), {a, 1, 25}]
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(n+0)(a+1)^{n+1}}\), {a, 1, 15}]
{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 9/10, 10/11, 11/12, 12/13, 13/14, 14/15, 15/16}

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{(n+1)(a+1)^{n+1}}\), {a, 1, 9}]
  {(1 - Log[2]), (2 - Log[3])/2, (3 - Log[4])/3, (4 - Log[5])/4, (5 - Log[6])/5,
   (6 - Log[7])/6, (7 - Log[8])/7, (8 - Log[9])/8, (9 - Log[10])/9}

Table[\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n*a^n}{(n+2)(a+1)^{n+1}}\), {a, 1, 9}]
  {3 - 4 Log[2], (8 - 6 Log[3])/4, (15 - 8 Log[4])/9, (24 - 10 Log[5])/16, (35 - 12 Log[6])/25,
  (48 - 14 Log[7])/36,  (63 - 16 Log[8])/49, (80 - 18 Log[9])/64, (99 - 20 Log[10])/81}
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发表于 2020-11-21 12:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-22 08:00 编辑
王守恩 发表于 2020-11-18 15:08
若 a>b>0,c,d 是实数,恒有:

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b^{c+1}}{a^d\ (a-b)}\)


若 a,b,c,d 是实数,且 a>b>0,恒有:

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b^{n+c}}{a^{n+d}}=\frac{b^{c+1}}{a^d\ (a-b)}\)

注:6楼只是这里的特例。
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发表于 2020-11-21 19:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-11-22 08:16 编辑

答案好像是这样的?

\(\displaystyle\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot 2^n}{(n+2)\cdot 3^{n+1}}=\frac{8 - 6 \ln3}{4}\)

\(一般地,\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot a^n}{(n+2)\cdot(a+1)^{n+1}}=\frac{a(a+2)-2(a+1)\ln(a+1)}{a^2}\)

点评

有道理, 二楼最后一个等式的右边已作了修订  发表于 2020-11-21 22:59
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 楼主| 发表于 2020-11-21 23:21 | 显示全部楼层
\(S_n = a+ar+\cdots+ar^{n-1},\;S_n-rS_n = a-ar^n,\; S_n = a\frac{1-r^n}{1-r}\;(r\ne 1)\)
\(\therefore\;\;|r|<1\implies \displaystyle{\small\sum_{n=0}^{\infty}}ar^n=\lim_{n\to\infty}S_n =\small\frac{a}{1-r}\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{a}{a+1}\big)^n\overset{r=\frac{a}{a+1}}{=} r{\small\frac{1}{1-r}}=a\;(a>0)\)
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