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关于 “Li-Yorke 浑沌” 的故事

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发表于 2020-11-7 11:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
关于 “Li-Yorke 浑沌” 的故事

作者 | 李天岩(作者任教于美国密西根州大学)
来源 | 原载于《数学传播》第十二卷第三期


李天岩教授(1945--2020)

在科学界,关于浑沌 (Chaos) 现象和奇异吸引子 (Strange Attractor) 的研究领域里,名气最大的奇异吸引子大概就是所谓的 Lorentz 吸引子吧。在 Lorentz 吸引子成名的过程中,有一个关键性的教授 Allen Feller 的名字却很少有人知道。

我在美国马里兰大学作研究生时,我的博士论文的指导教授 J.A. Yorke 先生所属的研究所是流体动力学与应用数学所(现在已更名为物理科学与技术研究所)。那个研究所 所包含的领域非常之广。比如说,固态物理、等离子体物理、化学工程、应用数学, 等等。其中有一个非常奇怪的小组,叫做气象组,A. Feller 是这个小组的教授。

大约在1972年时,Feller 教授将 E.N. Lorentz 所写关于“气象预测”模型 的 4 篇文章交给 Yorke 教授。当时 Feller 教授觉得 Lorentz 的文章太过于理论化、数学化,他们不感兴趣。也许我们搞数学的会比较感兴趣。那 4 篇文章都是在气象的期刊上登的。若不是 Feller 教授,我们也许不太可能有机会接触到它。那段时间,我们读了那几篇 Lorentz 写的文章,觉得很有意思。

在1973年4月中的一天下午,我到 Yorke 教授的办公室。那时他对我说:“I have a good idea for you!(我给你一个好点子!)”那时我在做微分方程方面的研究。我以为他所谓的“good idea”是关于微分方程方面的高深 idea。但是我却开玩笑地说:“Is your idea good enough for Monthly?”


Yorke 教授



这个 idea 的原始出发点是在 Lorentz 那些文章之中。我听了这个 idea 之后,马上感慨的说:“It will be a perfect work for Monthly!”的确是如此,因为它根本不牵涉高深的语言。一般学生都应看得懂,不是吗?

大约两星期后,我就完全证明了这个定理,证明过程中所用到的只是初等微积分里的“介值定理”,写的不是太“高深”。我们将它写好之后,就真的投到 Monthly 去了。那时那篇文章的参考文献只有 Lorentz 的那 4 篇文章。

没想到,没过多久那篇文章就被 Monthly 退回。他们说,我们这篇文章过于偏向“研究性”,并不适合Monthly这个期刊的读者。因此,他们建议我们将原稿转寄其他的期刊。但是我们若一定要投回Monhly,他们建议我们把它改写到一般学生都看得懂的地步。

文章退回以后,Yorke 教授还是坚持要寄回 Monthly,因为 Monthly 比较一般化,它的读者群非常之大。(其实,我真恨不得他能同意我转寄别的期刊。)当初我们研究这个问题,以及写这篇文章,只是著迷于它本身的趣味。这和我博士论文的内容根本无关。因此我并没有花功夫去改它。事实上,我也不知道该怎么改。于是乎,这篇文章就在我桌上躺了将近一年。


May教授(1936--2020)







Yorke 教授听完 R. May 教授的演讲后,在送 May 上飞机时, 把在我桌上躺了将近一年的那篇关于 Li-Yorke 定理的文章给他看。May看了文章的结果后,大为吃惊。他认为这个定理大大的解释了他的疑问。Yorke 教授从飞机场回来后,立刻跑来找我说:“我们应该马上改写这篇文章。” 文章在两星期内改写完成,三个月后 Monthly 接受我们这篇文章, 它登在1975年12月份的 Monthly 上。

R. May 是举世闻名的教授。那年暑假时,他被邀请到欧洲到处去演讲。Li-Yorke 定理--“周期三则浑沌”,因此大为出名。Lorentz 吸引子 也跟著大为出名。特别值得一提的是 R. May 教授在来马里兰大学之前并不知道所谓的Lorentz 吸引子。

所谓“奇异吸引子” 事实上是指一个动力系统的轨迹最后被一个奇异(混乱)的吸引子吸去了。也就是说,我们若追踪轨迹的路线,最后会趋近于一个混乱的状态,毫无规则可寻。上面提过,在二维空间里的微分方程(一般称微分方程为微分动力系统。)由于Poincare-Bendixson理论的保证, 这种“奇异”的吸引子不会出现。在 Li-Yorke 定理出现以前,大家多半相信即使在三维以上的空间裡, 不受「噪音」(noise)影响的微分动力系统,它的解的轨跡的长期路径多多少少追随一些规律。但是当 Li-Yorke 定理出现以后, 大家不再迷信这个定理。首先的一个例子,就是 Lorentz 吸引子(它是三维空间裡的微分动力系统)。后来大家发现“奇异吸引子”到处都是,各个领域都有。这个混乱的现象,不是人为计算上的错误或误差所造成的,而是“神的旨意”。



我也是来到日本以后才知道,研究所谓“应用数学”的专家在日本数学界的“社会地位”非常之低。这个世界上其他国家里,是少有的现象。在世界各地,研究“浑沌现象”和“奇异吸引子”的学者大多数是应用数学界的人士。这个领域现在非常热门,研究的人非常之多。但是在日本,这方面的研究都不是“数学界”的人士在做。日本数学界的人士,很少有人知道什么是“日本吸引子”。这在我看来是非常奇怪的事。

我觉得所谓的“应用数学”,应该是首先设法了解自然界上的一些现象和问题。好比说,想想为什么苹果会从树上掉到牛顿的头上,然后找出这些现象在数学上的正确描述,以及解决这些问题的方法。然后把这些现象的描述,以及解决这些问题的方法理论化,希望同时能解决一些类似的问题。理论化之后,若是遇到这个理论不能解决的问题,则要更进一步,设法推广原有的理论。这比躲在象牙塔里做些莫名其妙的抽象工作要有意思多了,我想。

其实,即使在20世纪初期,一般来说,数学还只是物流的一部分,后来英国的数学家 Hardy 大力鼓吹他的观点,数学应该从物理学中独立出来,而本身成为一种“艺术”。通常所谓的艺术,它所追求的是一种“美感”。但是,每个人对美感有不同的标准。比如说,我实在不想花钱买毕加索的画(它在全球市场上,通常是上百万美元的价格),因为我真不懂它“美”在哪里。再比如说,在我们东方的古画里,其中所有的女士大多是小眼睛、细鼻梁。当西方人刚到东方时,我们都觉得他们是妖怪:大眼睛,高鼻子。可见,过去东方人对审美的观点与西方人有很大的差异。但是今天我再也看不到东方国家选去参加世界小姐选美的姑娘是“小眼睛、细鼻梁”了。我认为这是一种“文化侵略”,我们东方人输惨了。不幸的是,把数学当成艺术来看之后,大多数的东方数学家依然把西方人当作“评审员”,追求他们的标准中所谓的“美感”。

应用数学的“评审员”是这个自然世界,去描述自然界的现象,去解决自然界的问题,这好像不需要去看西方人的眼色了,不是吗?

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